最全经典不等式证明的基本方法.pdf

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1、不等式和绝对值不等式一、不等式1、不等式的基本性质：①、对称性：abba传递性：a_________b,bcac②、ab,cR，a+c＞b+c③、a＞b，c0，那么ac＞bc；a＞b，c0，那么ac＜bc④、a＞b＞0，cd0那么，ac＞bdnnnN,n2⑤、a>b>0，那么a>b.（条件）⑥、a＞b＞0那么（条件nN,n2）2、基本不等式定理1如果a,b∈R,那么22a+b≥2ab.当且仅当a=b时等号成立。定理2（基本不等式）如果a，b>0，那么abab2当且仅当a=b

2、时，等号成立。即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。结论：已知x,y都是正数。（1）如果积xy是定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值2p；12（2）如果和x+y是定值s，那么当x=y时，积xy有最大值s4小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时，一定要满足“一正二定三相等”的条件。3、三个正数的算术-几何平均不等式abc3定理3如果abc,,R，那么abc，当且仅3当abc时，等号成立。即：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。把基本不等式推广到一般情形：

3、对于n个正数a,1aa,,,它们的算术平均不小于它们的几何平均，2n即：aaa12nnaaa,12nn当且仅当aaa时，等号成立。12n二、绝对值不等式1、绝对值三角不等式实数a的绝对值

4、a

5、的几何意义是表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离：1任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B，那么

6、a-b

7、的几何意义是A、B两点间的距离。定理1如果a,b是实数，则

8、a+b

9、≤

10、a

11、+

12、b

13、，当且仅当ab≥0时，等号成立。（绝对值三角不等式）如果a,b是实数，那么

14、a

15、-

16、b

17、≤

18、a±b

19、≤

20、a

21、

22、+

23、b

24、定理2如果a,b,c是实数，那么

25、a-c

26、≤

27、a-b

28、+

29、b-c

30、，当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。2、绝对值不等式的解法（1）

31、ax+b

32、≤c和

33、ax+b

34、≥c(c>0)型不等式的解法：①换元法：令t=ax+b,转化为

35、t

36、≤c和

37、t

38、≥c型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。②分段讨论法：axb00axb

39、

40、axbcc(0)或axbc()axbcaxb00axb

41、

42、axbcc(0)或axbc()axbc（2

43、）xaxbc和xaxbc型不等式的解法①用绝对值不等式的几何意义②零点分区间法③构造函数法2典型例题例1解不等式例2解不等式

44、

45、x+3

46、-

47、x-3

48、

49、>3。2例3解不等式

50、x-3

51、x

52、-3

53、<1。例4求使不等式

54、x-4

55、+

56、x-3

57、

58、减式的大小.理论依据：①；②；③。一般步骤：第一步：作差；第二步：变形；常采用配方、因式分解等恒等变形手段；第三步：判断差的符号；就是确定差是大于零，还是等于零，小于零.如果差的符号无法确定，应根据题目的要求分类讨论.第四步：得出结论。注意：其中判断差的符号是目的，变形是关键。2、作商比较法常用于单项式大小的比较，当两式同为正时，通过作商变形（约分、化简）判断商与1的大小得结论（确定被除式与除式的大小）.理论依据：若、，则有①；②；③.基本步骤:第一步：判定要比较两式子的符号第二步：作商第三步：变形；常采用约分

59、、化简等变形手段；第四步：判定商式大于1或等于1或小于1。如果商与1的大小关系无法确定,应根据题目的要求分类讨论.第五步：得出结论。注意：作商比较法一般适合含“幂”、“指数”的式子比较大小。知识点二：分析法分析法是从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立，或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种方法.思维过程：“执果索因”.证明格式：要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证。适用题型：当所证的不等式的结论与所给条

60、件间联系不明确，常常采用分析法证明不等式。4知识点三：综合法综合法是从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最后导出要证明的命题。思维过程：“执因索果”适用题型：当所证的不等式的条件形式或不等式两端的形式与不等式的性质、定理有直接联系时，常常采用综合法证明不等式.知识点四：反证法反证法首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步