15不等式证明的基本方法

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1、学校：临清二中学科：数学编写人：马英济1.5.11.5.2不等式的证明方法（一）教学目标：了解证明不等式的最基本的基本方法即比较法、综合法、分析法.教学重点、难点：分析法教学过程：一、情景引入：不等式历来是高考的重点内容。对于本节来讲，复习有关不等式性质的基础知识、基本方法，而且还考察逻辑推理能力、分析问题、解决问题的能力。要在思想方法上下功夫。.要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论；为了判断作差后的符号，有时要把这

2、个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负。综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。打一个比方

3、：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。二、精讲精练：例1、设a>0，b>0，求证：≥。分析：当不等式是代数不等式时，常用比差法，比差法的三步骤即为函数单调性证明的步骤。解：左-右=≥0∴左≥右即原不等式成立.点评：⑴做差；变形整理；判断差式的正负，该法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明.⑵本题中应注意做差后分组的原则，是以提取公因式从而判定差式的结果是大于零还是小于零为目的.变式训练1：课本P24练习第7题

4、.例2：已知求证：12比较两个真数联想到可用基本不等式来证明.点评：本题采用采用的是把几个不等式相加（或相乘）的方法，这是综合法证明不等式时常用的变形方法.变式训练2：课本P27练习第2题.例3：已知求证：分析：本题是一个连锁不等式，也应该用逐步分析的方法分别证明，但要注意隐含条件12点评：本题出题角度比较新颖，能力要求较高，三角形的边角问题一般用正弦、余弦定理进行转化变形，然而本题并没有三角函数，所以想到，再利用求差比较法证明。变式训练3：课本P27练习第6题.三、课堂小结1.证明不等式的基本方法

5、：比较法、综合法、分析法.2.在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用四、布置作业课本P31习题1-5第2，3，7题.课外参考：已知a＞0，b＞0，且a+b=1。求证：(a+)(b+)≥.证法一：(分析综合法)欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即证4(ab)2－33(ab)+8≥0，即证ab≤或ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立∵1=a+b≥2，∴ab≤，从而得证.证法二：(均值代换法)供参考设a=+t1，b=+t2.∵a+b=1，

6、a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，

7、t1

8、＜，

9、t2

10、＜12显然当且仅当t=0，即a=b=时，等号成立.证法三：(比较法）∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤证法四：(综合法)∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤.证法五：(三角代换法）供参考∵a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0，)212学校：临清二中学科：数学编写人：马英济学案1.5.11.5.2不等式的的证明(1)预习目标：1.理解并掌握证明不等式的基本方法---比较法、综合法

11、与分析法;2.会利用比较法、综合法和分析法证明不等式预习内容：1．实数大小必较法则：2.基本不等式：⑴如果,那么.当且仅当时,等号成立.⑵.如果,那么.当且仅当时,等号成立.3.均值不等式：如果,那么的大小关系是：常用推论：⑴.;;⑵..4.不等式证明的基本方法：比较法、综合法与分析法探究学习：1.比较法：例1：已知求证12本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。2.综合法：从①已知

12、条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,通过逻辑推理,推导出所要证明的结论.这种证明方法叫做综合法.又叫由导法.用综合法证明不等式的逻辑关系：3分析法：从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法.这是一种执索的思考和证明方法.用分析法证明不等式的逻辑关系：课后练习1.已知求证：12（1）（2）2.3.设，分别用分析法与综合法求证:4.已知a