15级高一数学不等式证明的基本方法

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1、不等式证明的基本方法一、基本不等式定理1如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时等号成立。定理2（基本不等式）如果a，b>0，那么当且仅当a=b时，等号成立。即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。结论：已知x,y都是正数,（1）如果积xy是定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值2；（2）如果和x+y是定值s，那么当x=y时，积xy有最大值小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时，一定要满足“一正二定三相等”的条件。二、三个正数的算术-几何平均不等式三、不

2、等式证明的基本方法知识点一：比较法　　比较法是证明不等式的最基本最常用的方法，可分为作差比较法和作商比较法。1、作差比较法：　　常用于多项式大小的比较，通过作差变形（分解因式、配方、拆、拼项等）判断符号（判断差与0的大小关系）得结论（确定被减式与减式的大小.　　理论依据：　　①；②；③。一般步骤如下：　　第一步：作差；　　第二步：变形；常采用配方、因式分解等恒等变形手段；　　第三步：判断差的符号；就是确定差是大于零，还是等于零，小于零.如果差的符号无法确定，应根据题目的要求分类讨论.　　第四步：得出结论。　

3、　注意：其中判断差的符号是目的，变形是关键。2、作商比较法　　常用于单项式大小的比较，当两式同为正时，通过作商变形（约分、化简）判断商与1的大小得结论（确定被除式与除式的大小）.理论依据：若、，则有①；②；③.　　基本步骤:　7　第一步：判定要比较两式子的符号　　第二步：作商　　第三步：变形；常采用约分、化简等变形手段；　　第四步：判定商式大于1或等于1或小于1。如果商与1的大小关系无法确定,应根据题目的要求分类讨论.　　第五步：得出结论。　　注意：作商比较法一般适合含“幂”、“指数”的式子比较大小。知识点

4、二：分析法　　分析法是从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立，或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种方法.　　思维过程：“执果索因”.　　证明格式：要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证。　　适用题型：当所证的不等式的结论与所给条件间联系不明确，常采用分析法证明不等式。知识点三：综合法　　综合法是从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最后导出要证明的命题。　　思维过程：“执因索

5、果”　　适用题型：当所证的不等式的条件形式或不等式两端的形式与不等式的性质、定理有直接联系时，常常采用综合法证明不等式.知识点四：反证法　　反证法首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来的结论正确。　　适用题型：适合证明“存在性问题、唯一性问题”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.　　理论依据：命题“p”与命题“非p”一真、一假。　　注意：反证法解题

6、的实质是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确。在否定结论时，其反面要找对、找全.知识点五：放缩法　　放缩法是指在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值适当的放大（或缩小），以此来简化不等式，达到证明的目的。　　理论依据：不等式的传递性：a>b,b>ca>c，找到不等号的两边的中间量，从而使不等式成立。　　注意：应用放缩法时，放大（缩小）一定要适当。规律方法指导1、不等式证明的常用方法：　　比较法，综合法，分析法，反证法，放缩法，换元法等。2、反证法的证明步骤：　　①否定结论：假设命题的结论不成立，即结

7、论的反面成立；　　②推出矛盾：由结论反面成立出发，通过一系列正确的推理，导出矛盾；　　③否定假设：由正确的推导导出了矛盾，说明假设不成立；　　④肯定结论：原命题正确。3、放缩法的常用技巧：　　①在恒等式中舍掉或者加进一些项；　　②在分式中放大或缩小分子或分母；　例如：　　③应用函数的单调性、有界性等性质进行放缩；例如：f(x)为增函数，则f(x-1)

8、典例题透析类型一：比较法证明不等式例1、用作差比较法证明下列不等式：　（1）；（2）(a，b均为正数，且a≠b)　　　　　　　【变式1】证明下列不等式：　　(1)a2+b2+2≥2(a+b)；(2)a2+b2+c2+3≥2(a+b+c)；(3)a2+b2≥ab+a+b-1　【变式2】已知a，b∈，x，y∈，且a+b=1，求证：ax2+by2≥(ax+by)2　总结升华：作差，变形（分解因式、配方等），判断差的符号