不等式证明的基本方法·例题.doc

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1、不等式证明的基本方法·例题 例5-2-7 已知a，b，c∈R+，证明不等式：当且仅当a=b=c时取等号。解 用综合法。因a＞0，b＞0，c＞0，故有三式分边相加，得当且仅当a=b=c时取等号。例5-2-8 设t＞0。证明：对任意自然数n，不等式tn-nt+(n-1)≥0都成立，并说明在什么条件下等号成立。解 当n=1时，不等式显然成立，且取等号。当n≥2时，由幂分拆不等式，可得以下n-1个不等式：t2+1≥t+t，t3+1≥t2+t，…，tn-1+1≥tn-2+t，tn+1≥tn-1+t以上各式当且仅当t

2、=1时取等号。把它们分边相加，得故对任意n∈N，不等式获证。等号成立的条件是n=1，或t=1。注 ①在以上不等中令t=1+x(x＞-1)，即得著名的贝努利不等式(1+x)n≥1+nx例5-2-9 设a，b，c都是正数，证明不等式当且仅当a=b=c时取等号。分析 本例有多种精彩证法。根据对称性，可从左边一项、两项入手，当然也可根据平均值不等式或幂分拆不等式从整体入手。解 [法一] 从一项入手，适当配凑后由平均值不等式知三式分边相加，即得时，上式取等号。[法二] 从两入手，利用幂分拆不等式，有同理有三式分边相

3、加，得[法三] 从整理入手，原不等式等价于进一步证明参考习题5-2-7(1)解答。[法四] 由平均值不等式x2+(λy)2≥2λxy(x，y，∈R+)的变式三式分边相加，得所以注 从证法4我们看到，利用平均值不等式x2+(λy)2≥2λxy(x，式不等式，思路自然，简捷明快，颇具特色。例5-2-10 已知关于x的实系数方程x2+px+q=0有两个实数根α，β。证明：若

4、α

5、＜2，

6、β

7、＜2，则

8、q

9、＜4，且2

10、p

11、＞4+q。解 先证

12、q

13、＜4，由韦达定理知

14、q

15、=

16、αβ

17、=

18、α

19、·

20、β

21、＜2×2=4再证2

22、

23、p

24、＞4+q。欲证不等式即0≤2

25、α+β

26、＜4+αβ。故只须证4(α+β)2＜(4+αβ)2即 4α+8αβ+4β2＜16+8αβ+α2β2从而只须证16-4α2-4β2+α2β2＞0即 (4-α2)(4-β2)＞0由

27、α

28、＜2，

29、β

30、＜2，知α2＜4，β2＜4，故最后不等式成立，从而原不等式得证。例5-2-11 证明：若a，b，c是三角形的三边，则3(ab+bc+ca)≤(a+b+c)2＜4(ab+bc+ca)当且仅当三角形为正三角形时，左边取等号。解 左边不等式等价于3(ab+bc+ca)≤a2+b

31、2+c2+2(ab+bc+ca)欲证此不等式成立，只须证ab+bc+ca≤a2+b2+c2即证2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)≥0左边配方即为(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0此不等式显然成立，当且仅当a=b=c，即三角形为正三角形时取等号。故左边不等式获证。欲证右边不等式，仿上只须证a2+b2+c2＜2(ab+bc+ca)从而只须证(ab+ac-a2)+(ab+bc-b2)+(bc+ca-c2)＞0即证a(b+c-a)+b(a+c-b)+c(b+a-c)＞0由于a，b，c是三角形

32、的三边，此不等式显然成立，故右边不等式获证。综上所述，原不等式得证。例5-2-12 设f(x)=x2+px+q(p，q∈R)，证明：(2)若

33、p

34、+

35、q

36、＜1，则f(x)=0的两个根的绝对值都小于1。解 用反证法但是，

37、f(1)

38、+2

39、f(2)

40、+

41、f(3)

42、≥f(1)-2f(2)+f(3)=(1+p+q)-2×(4+2p+q)+(9+3p+q)=2                                         (ii)(i)与(ii)矛盾，故假设不成立，即原命题成立。(2)假设f(x)

43、=0的两根x1，x2的绝对值不都小于1，不妨设

44、x1

45、≥1，那么由韦达定理，有

46、p

47、=

48、-(x1+x2)

49、=

50、x1+x2

51、≥

52、x1

53、-

54、x2

55、≥1-

56、x2

57、

58、q

59、=

60、x1x2

61、=

62、x1

63、·

64、x2

65、≥

66、x2

67、两式分边相加，得

68、p

69、+

70、q

71、≥1这与题设矛盾，故假设不成立，即原命题得证。注 反证法的逻辑程序是：否定结论→推出矛盾→肯定结论。反证法常用于直接证明难于入手的命题，或结论中含“不存在”、“都是”、“都不是”、“至少”、“至多”、之类的存在性命题。