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《2015高考数学（理）一轮复习配套文档：第7章 第7节 空间向量在立体几何中的应用.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第七节 空间向量在立体几何中的应用【考纲下载】1．理解直线的方向向量与平面的法向量．2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．3．能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理)．4．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题．了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．1．两个重要向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．2．
2、空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2.l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔m·n＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α、β的法向量分别为n，m.α∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝03．两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝
3、cosθ
4、＝(其中φ为异面直线a，b所成的角)．4．直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，向量e与n的夹角为θ，
5、则有sinφ＝
6、cosθ
7、＝.5．求二面角的大小(1)如图①，AB、CD是二面角αlβ的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角αlβ的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉．6．点到平面的距离的向量求法如图所示，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝.1．在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？提示：给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标．2．两向量的夹角的范围是什么？两异面直线所成角呢？直
8、线与平面所成角呢？二面角呢？提示：两向量的夹角范围是[0，π]；两异面直线所成角的范围是；直线与平面所成角的范围是；二面角的范围是[0，π]，注意以上各角取值范围的区别．1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则( )A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交解析：选B ∵a＝(1,0,2)，n＝(－2,0，－4)∴n＝－2a，即a∥n.∴l⊥α.2．若平面α、β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则( )A．α∥βB．α⊥βC．α、β相交但不垂直D．以上均不正确解析：选C ∵n1·n2＝2×(－3)＋(
9、－3)×1＋5×(－4)≠0，∴n1与n2不垂直，∴α与β相交但不垂直．3．已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量为( )A.B.C．±D.解析：选C 设平面ABC的一个法向量n＝(x，y，z)，则即y＋z＝0.令z＝2，则y＝－2，x＝1.即n＝(1，－2,2)．故其单位法向量n0＝±＝±.4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________．解析：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，∴＝(0,1，－1)，＝，设平面A
10、1ED的法向量为n1＝(1，y，z)，则∴∴n1＝(1,2,2)，∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，∴cos〈n1，n2〉＝＝.故所成的锐二面角的余弦值为.答案：5．正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是______．解析：如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P，则＝(2a,0,0)，＝，＝(a，a,0)，设平面PAC的一个法向量为n，可求得n＝(0,1,1)，则cos〈，n〉＝＝＝，∴〈，n
11、〉＝60°，∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.答案：30°答题模板(六)空间向量在立体几何中的应用[典例] (2013·山东高考)(12分)如图所示，在三棱锥PABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.(1)求证：AB∥GH；(2)求二面角DGHE的余弦值．[快速规范审题]第(1)问1．审结论，明解题方向观察所求结论：证明AB∥G
