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《高考数学理一轮作业配套文档： 节 空间向量在立体几何中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、备课大师：免费备课第一站！第七节 空间向量在立体几何中的应用【考纲下载】1．理解直线的方向向量与平面的法向量．2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．3．能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理)．4．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题．了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。1．两个重要向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量
2、直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．聞創沟燴鐺險爱氇谴净。2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2.l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔m·n＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α、β的法向量分别为n，m.α∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝03．两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，
3、其夹角为θ，则cosφ＝
4、cosθ
5、＝(其中φ为异面直线a，b所成的角)．残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。4．直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝
6、cosθ
7、＝.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。5．求二面角的大小(1)如图①，AB、CD是二面角αlβ的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．http://www.xiexingcun.com/http://www.eywedu.net/备课大师：免费备课第一站！(2)如
8、图②③，n1，n2分别是二面角αlβ的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉．彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。6．点到平面的距离的向量求法如图所示，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。1．在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？提示：给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标．2．两向量的夹角的范围是什么？两异面直线所成角呢？直线与平面所成角呢？二面角呢？提示：两
9、向量的夹角范围是[0，π]；两异面直线所成角的范围是；直线与平面所成角的范围是；二面角的范围是[0，π]，注意以上各角取值范围的区别．厦礴恳蹒骈時盡继價骚。1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则( )A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交解析：选B ∵a＝(1,0,2)，n＝(－2,0，－4)∴n＝－2a，即a∥n.∴l⊥α.2．若平面α、β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则( )A．α∥βB．α⊥βC．α、β相交但不垂直D．
10、以上均不正确解析：选C ∵n1·n2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)≠0，∴n1与n2不垂直，∴α与β相交但不垂直．茕桢广鳓鯡选块网羈泪。3．已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量为( )A.B.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。C．±D.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。解析：选C 设平面ABC的一个法向量n＝(x，y，z)，则即y＋z＝0.令z＝2，则y＝－2，x＝1.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。即n＝(1，－2,2)．故其单位法向量n0＝±＝±.渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。4．在正方体ABCDA1B1C1D
11、1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________．铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。http://www.xiexingcun.com/http://www.eywedu.net/备课大师：免费备课第一站！解析：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，∴＝(0,1，－1)，＝，擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。设平面A1ED的法向量为n1＝(1，y，z)，则∴贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。∴n1＝(1,2,2)，∵平面ABCD的一个法向量为n2＝
12、(0,0,1)，∴cos〈n1，n2〉＝＝.坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。故所成的锐二面角的余弦值为.答案：5．正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是______．蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。解析：如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a,0,0)，B
