【创新方案】2015高考数学（理）一轮突破热点题型：第7章 第7节　空间向量在立体几何中的应用

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1、备课大师：免费备课第一站！第七节　空间向量在立体几何中的应用考点一利用空间向量证明平行、垂直　[例1]　如图所示，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.[自主解答]　以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°.∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4，∴D(0,

2、1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M.∴＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)，＝.(1)法一：令n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，则即∴令y＝2，得n＝(－，2,1)．∵n·＝－×＋2×0＋1×＝0，∴n⊥，又CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD.法二：∵＝(0,1，－2)，＝(2，4，－2)，令＝x＋y，则方程组有解为∴＝－＋.由共面向量定理知与、共面，又∵CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD.http://www.xiexingcun.com/http://www.eywedu.net/备课大师：免费备课第一站！(2)取AP的中点E，则E(，2,1

3、)，＝(－，2,1)，∵PB＝AB，∴BE⊥PA.又∵·＝(－，2,1)·(2，3,0)＝0，∴⊥.∴BE⊥DA，又PA∩DA＝A，PA，DA⊂平面PAD，∴BE⊥平面PAD，又∵BE⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.【方法规律】1．用向量证明平行的方法(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线．(2)线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行．(3)面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题．2．用向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．(2)线

4、面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.证明：(1)以C为坐标原点，CD，CB，CE所在直线为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE.则点N，E的坐标分别为，(0,0,1)．∴＝.又点A，M的坐标分别是(，，0)，，∴＝.∴＝且NE与AM不共线．∴NE∥AM.又∵NE⊂平面BDE，AM⊄

5、平面BDE，∴AM∥平面BDE.(2)由(1)知＝，∵D(，0,0)，F(，，1)，∴＝(0，，1)．∴·＝0.∴⊥.同理可证⊥.又DF∩BF＝F，DF，BF⊂平面BDF，∴AM⊥平面BDF.高频考点考点二利用向量求空间角　　http://www.xiexingcun.com/http://www.eywedu.net/备课大师：免费备课第一站！1．利用向量求空间角是每年的必考内容，题型为解答题，难度适中，属中档题．2．高考对空间角的考查常有以下两个命题角度：(1)求直线与平面所成的角；(2)求二面角．[例2]　(1)(2013·新课标全国卷Ⅰ)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CA＝CB，

6、AB＝AA1，∠BAA1＝60°.①证明：AB⊥A1C；②若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．(2)(2013·四川高考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．①在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；②设①中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角AA1MN的余弦值．[自主解答]　(1)①证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所

7、以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，OC，OA1⊂平面OA1C，所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.②由①知OC⊥AB，OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直．以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，

8、

9、为单