2015高考数学（理）一轮复习配套文档：第4章 第3节　平面向量的数量积及平面向量的应用.doc

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1、第三节　平面向量的数量积及平面向量的应用【考纲下载】1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．2．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．3．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．4．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量

2、a

3、

4、b

5、cosθ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝

6、a

7、

8、b

9、cosθ，规定0·a＝0.2．向量数量积的运算律(1

10、)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，结论几何表示坐标表示模

11、a

12、＝

13、a

14、＝夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0　　1．若a·b＝a·c，则b＝c吗？为什么？提示：不一定．a＝0时不成立，另外a≠0时，由数量积概念可知b与c不能确定．2．等式(a·b)c＝a(b·c)成立吗？为什么？提示：(a·b)c＝a(b·c)不一定成立．(a·b)c是c方向上的向量，而a(b·c)是a方向上的向量，当a与

15、c不共线时它们必不相等．3．

16、a·b

17、与

18、a

19、·

20、b

21、的大小之间有什么关系？提示：

22、a·b

23、≤

24、a

25、·

26、b

27、.因为a·b＝

28、a

29、

30、b

31、cosθ，所以

32、a·b

33、＝

34、a

35、

36、b

37、

38、cosθ

39、≤

40、a

41、·

42、b

43、.1．若非零向量a，b满足

44、a

45、＝

46、b

47、，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为(　　)A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选C　∵(2a＋b)·b＝0，∴2a·b＋b2＝0，∴2

48、a

49、

50、b

51、cosθ＋

52、b

53、2＝0.又∵

54、a

55、＝

56、b

57、，∴2cosθ＋1＝0，即cosθ＝－.又θ∈[0，π]，∴θ＝，即a与b的夹角为120°.2．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2

58、，x)，若a·b＝1，则x＝(　　)A．－1B．－C.D．1解析：选D　∵a＝(1，－1)，b＝(2，x)，a·b＝1，∴2－x＝1，即x＝1.3．设向量a，b满足

59、a

60、＝

61、b

62、＝1，a·b＝－，则

63、a＋2b

64、＝(　　)A.B.C.D.解析：选B　

65、a＋2b

66、＝＝＝＝.4．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.解析：因为向量a，b为单位向量，所以b2＝1，又向量a，b的夹角为60°，所以a·b＝，由b·c＝0，得b·[ta＋(1－t)b]＝0，即ta·b＋(1－t)b2＝0，所以t＋

67、(1－t)＝0，所以t＝2.答案：25．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.解析：选向量的基底为，，则＝－，＝＋，那么·＝·(－)＝2.答案：2前沿热点(五)与平面向量有关的交汇问题1．平面向量的数量积是每年高考的重点和热点内容，且常与三角函数、数列、三角形、解析几何等交汇命题，且常考常新．2．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用平面向量数量积的公式和性质．[典例]　(2013·安徽高考)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足

68、

69、＝

70、

71、

72、＝·＝2，则点集{P

73、＝λ＋μ，

74、λ

75、＋

76、μ

77、≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是(　　)A．2B．2C．4D．4[解题指导]　根据条件

78、

79、＝

80、

81、＝·＝2，可设A(2,0)，B(1，)，＝(x，y)．利用＝λ＋μ，以及

82、λ

83、＋

84、μ

85、≤1建立关于x，y的不等式，从而将问题转化为线性规划问题求解．[解析]　由

86、

87、＝

88、

89、＝

90、

91、·

92、

93、＝2，知〈，〉＝.设＝(2,0)，＝(1，)，＝(x，y)，则解得由

94、λ

95、＋

96、μ

97、≤1，得

98、x－y

99、＋

100、2y

101、≤2.作可行域如图．则所求面积S＝2××4×＝4.[答案]　D[名师点评]　解决本题的关键有以下几点：(1)根据已知条件，恰当设出A，

102、B两点的坐标，将其转化为向量的坐标运算，这是解决此题的突破口．(2)正确列出λ及μ关于x，y的不等式组．(3)准确画出不等式组所表示的平面区域，并算得面积．已知两点M(－3,0)，N(3,0)，点P为坐标平面内一动点，且

103、

104、·

105、

106、＋·＝0，则动点P(x，y)到点M(－3,0)的距离d的最小值为(　　)A．2B．3C．4D．6解析：选B　因为M(－3,0)，N(3,0)，所以＝(6,0)，

107、

108、＝6，＝(x＋3，y)，＝(x－3，y)．由

109、

110、·

111、

112、＋·＝0，得6＋6(x－3)＝0，化简得y2＝－12x，所以点M是抛物线y2＝－12