2019版高考数学大复习平面向量第29讲平面向量的数量积及其应用学案理

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1、第29讲　平面向量的数量积及其应用考试要求　1.平面向量数量积的含义及其物理意义(B级要求)；2.数量积的坐标表示，数量积的运算(C级要求)；3.用数量积表示两个向量的夹角，判断两向量垂直(B级要求).诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是.(　　)(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(　　)(3)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角.(　　)(4)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　　)解析　(1)两个向量的夹角的范围是[0

2、，π].(3)若a·b>0，a和b的夹角可能为0；若a·b<0，a和b的夹角可能为π.(4)由a·b＝a·c(a≠0)得

3、a

4、

5、b

6、cos〈a，b〉＝

7、a

8、

9、c

10、·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等.答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×2.(教材改编)已知△ABC中，BC＝4，AC＝8，∠C＝60°，则·＝________.解析　画图可知向量与夹角为角C的补角(图略)，故·＝BC×ACcos(π－C)＝4×8×＝－16.答案　－163.(2015·全国Ⅱ卷改编)向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝_

11、_______.解析　因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，得(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1.答案　14.(2017·无锡一模)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－1)，若a－b与ma＋b垂直，则实数m的值为________.解析　由(a－b)·(ma＋b)＝0，得ma2＋(1－m)a·b－b2＝0，即5m＋(1－m)－2＝0，解得m＝.答案　5.(2017·镇江期末)已知向量a＝(－2，1)，b＝(1，0)，那么

12、2a＋b

13、＝________.解析　因为2a＋b＝

14、(－3，2)，所以

15、2a＋b

16、＝＝.答案　知识梳理1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量

17、a

18、

19、b

20、cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝

21、a

22、

23、b

24、cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.(1)数量积：a·b＝

25、a

26、

27、b

28、c

29、osθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：

30、a

31、＝＝.(3)夹角：cosθ＝＝.(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)

32、a·b

33、≤

34、a

35、

36、b

37、(当且仅当a∥b时等号成立)⇔

38、x1x2＋y1y2

39、≤·.3.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).4.平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，则

40、a

41、

42、2＝x2＋y2或

43、a

44、＝.(2)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.考点一　平面向量的数量积【例1】(1)(2018·江苏南京开学测试)已知在▱ABCD中，AD＝2，∠BAD＝60°.若E为DC的中点，且·＝1，则·的值为________.(2)(2018·启东中学第一次月考)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝3，AD＝，E为BC的中点，若·＝3，则·＝________.解析　(1)设AB＝m(m>0)，以向量，为基底，在▱ABCD中，AB＝m，A

45、D＝2，∠BAD＝60°，则·＝·(－)＝2－·－2＝4－m－m2，因为·＝1，得m2＋m－6＝0，因为m>0，所以m＝2，所以·＝·(＋)＝(－)·(－)＝2－·＋2＝4－3＋2＝3，故·＝3.(2)以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为AB＝3，AD＝，E为BC的中点，所以A(0，0)，B(3，0)，D(0，)，设C(x，)，所以＝(3，0)，＝(x，).因为·＝3，所以3x＝3，解得x＝1，所以C(1，).因为E为BC的中点，所以E，即E，所以＝，＝(－2，)，所以·＝2×(－

46、2)＋×＝－4＋1＝－3.答案　(1)3　(2)－3规律方法　(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题