2019版高考数学大复习平面向量第29讲平面向量的数量积及其应用学案理

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1、第29讲 平面向量的数量积及其应用考试要求 1.平面向量数量积的含义及其物理意义(B级要求);2.数量积的坐标表示,数量积的运算(C级要求);3.用数量积表示两个向量的夹角,判断两向量垂直(B级要求).诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是.(  )(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(  )(3)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.(  )(4)a·b=a·c(a≠0),则b=c.(  )解析 (1)两个向量的夹角的范围是[0

2、,π].(3)若a·b>0,a和b的夹角可能为0;若a·b<0,a和b的夹角可能为π.(4)由a·b=a·c(a≠0)得

3、a

4、

5、b

6、cos〈a,b〉=

7、a

8、

9、c

10、·cos〈a,c〉,所以向量b和c不一定相等.答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.(教材改编)已知△ABC中,BC=4,AC=8,∠C=60°,则·=________.解析 画图可知向量与夹角为角C的补角(图略),故·=BC×ACcos(π-C)=4×8×=-16.答案 -163.(2015·全国Ⅱ卷改编)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=_

11、_______.解析 因为a=(1,-1),b=(-1,2),所以2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(1,0),得(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1.答案 14.(2017·无锡一模)已知向量a=(2,1),b=(1,-1),若a-b与ma+b垂直,则实数m的值为________.解析 由(a-b)·(ma+b)=0,得ma2+(1-m)a·b-b2=0,即5m+(1-m)-2=0,解得m=.答案 5.(2017·镇江期末)已知向量a=(-2,1),b=(1,0),那么

12、2a+b

13、=________.解析 因为2a+b=

14、(-3,2),所以

15、2a+b

16、==.答案 知识梳理1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角:已知两个非零向量a和b,记=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.(2)数量积的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量

17、a

18、

19、b

20、cosθ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=

21、a

22、

23、b

24、cos__θ,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角.(1)数量积:a·b=

25、a

26、

27、b

28、c

29、osθ=x1x2+y1y2.(2)模:

30、a

31、==.(3)夹角:cosθ==.(4)两非零向量a⊥b的充要条件:a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.(5)

32、a·b

33、≤

34、a

35、

36、b

37、(当且仅当a∥b时等号成立)⇔

38、x1x2+y1y2

39、≤·.3.平面向量数量积的运算律(1)a·b=b·a(交换律).(2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).4.平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2,由此得到(1)若a=(x,y),则

40、a

41、

42、2=x2+y2或

43、a

44、=.(2)设两个非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.考点一 平面向量的数量积【例1】(1)(2018·江苏南京开学测试)已知在▱ABCD中,AD=2,∠BAD=60°.若E为DC的中点,且·=1,则·的值为________.(2)(2018·启东中学第一次月考)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ADC=90°,AB=3,AD=,E为BC的中点,若·=3,则·=________.解析 (1)设AB=m(m>0),以向量,为基底,在▱ABCD中,AB=m,A

45、D=2,∠BAD=60°,则·=·(-)=2-·-2=4-m-m2,因为·=1,得m2+m-6=0,因为m>0,所以m=2,所以·=·(+)=(-)·(-)=2-·+2=4-3+2=3,故·=3.(2)以点A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,因为AB=3,AD=,E为BC的中点,所以A(0,0),B(3,0),D(0,),设C(x,),所以=(3,0),=(x,).因为·=3,所以3x=3,解得x=1,所以C(1,).因为E为BC的中点,所以E,即E,所以=,=(-2,),所以·=2×(-

46、2)+×=-4+1=-3.答案 (1)3 (2)-3规律方法 (1)求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题

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