《平面向量的数量积及其应用》学案

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1、平面向量的数量积及其应用自主梳理1.向量数量积的定义(1)向量数量积的定义：己知两个非零向量"和庆它们的夹角为0,则数量_.a\bcos3叫做“和b的数-a-b量积(或内积)，记作_a-h=a\bcos0,其+1向量的投影：Ib

2、cos&=GR,称问为向量5在刁方向上的投彫。投彫的绝对值称为射彫;注意在两向暈的夹角定义，两向暈必须是同起点的，范W0°<6<180°o规定：零向量与任一向量的数量积为—0.即6-5=0(2)平面向量数量积的几何意义数量积a・b等于a的长度阀与〃在"的方向上的投影bcos0的乘积.(3)平面向量数量积的重要性质：①如果e是单位向

3、量，则a-e=e-a=_

4、“

5、cos0；②非零向量a,方，a丄如a・b=0；③当“与”同向吋，刊=工方

6、—;(两个非零向量。与〃垂直的充要条件是_a・b=0_)当a与b反向时，a-b=_—

7、a

8、

9、〃

10、,a-a=_a2=」af，

11、g

12、=:(两个IF-零向量a与〃平行的充要条件是_a-b=±a\b)④cos&;⑤0创⑷孙2.向量数量积的运算律(1)交换律：a-b=_b-a；(2)分配律：(a--bc=a'c+h-c；(3)数乘向量结合律：伽)/=入(ab).3.向量数量积的坐标运算与度量公式(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a=(xi，yj),b=

13、g,力)，贝！Ja-b=xx2+yy⑵设两个非零向量a,b,a=(xi，j，i),b=(X2,必)，贝!l“丄DOxiX2+j^2=0(3)设两个非零向量a,b,a=(xvj“)，b=(x2,力)，贝！ICOSg—、"2=必._.Jxf+北2+力2(1)若a=(x,丿)，贝!lk/

14、2=_x2+j/2_^a=^jx2+y2・⑸若A(xi，yi),B(X2，y2)，贝iJA^=(x2—y2~Vi)，所以

15、祐

16、=J(x2・xj2+(y2・yj2.点评：1.向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余眩值有关，在运用向量

17、的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范I韦I.2.a・b=0不能推出a=0或b=0,因为(rb=O时，有可能“丄b.3.—般地，(a*b)ct(b*c)a即乘法的结合律不成立.因a-b是一个数量，所以(a・b)c表示一个与c共线的向量，同理右边(b-c)a表示一个与“共线的向量，而。与c不一定共线，故一般情况下(a*b)c^(b*c)a.4"方=心(好0)不能推出b=c,即消去律不成立.5.向量夹角的概念要领会，比如正三角形/BC中，〈於，就〉应为120°,而不是60。.自我检测1.己知向量“和向量b的夹角为135°,

18、«

19、=2,0

20、=3,则向量“和向量〃的数量积ab=

21、2.在Rt^ABC中，么090。屏04,则乔•花等于A.-16B.-8C.8D导为三C二鲨，所以疋予二0,所以AC=(AC+CB)・AC=(AC)2+AC•刁=16.]3.已知向量a,方满足a・b=0,

22、©=1,

23、创=2,贝i2a~b=A.0B.2返C.4=yj(2a-b)2=』4a-4“Z+&=y[s=2y[2.B2a-bD.D.)16=3,且3a+2b与入a_b垂直，则实数久的值为3-25.已知“=(2,3)，〃=(一4,7),则“在b方向上的投影为萼.6•设a,b,c是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有—②④_①(a・b)c—(c・a)b=0；②

24、a—b

25、a

26、2-16

27、^

28、2.7•平面上有三个点A(-2,y)，B(0,予,C*刃，若袒丄苑则动点C的轨迹方程为解析由题意得Z&=(2,—另，Bt=(x,£

29、,又乔丄St,：・朋就=0,即(2,—£)(x，£)=0,化简得y2=8x(x^0).&若等边AABC的边长为2巧，平面内一点M满足曲=

30、c^+

31、c^,则必•必=.解析合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C(0,0),A(2^3,0),B(晶3),这样利用向量关系式，求得必=(¥，—必=(¥，—*),处=(—爭，

32、另,所以必•必=-2.题型一平面向星的数量积的运算例1(1)己知“，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(“一c)・(b—c)=0,则

33、c

34、的最大值是.迈(2)如图，在中，ADLAB,就=£E,爲)

35、=1,则处•劝等于()C.*D.^3解法1基底法：•・•荒=迈丽，:.AC=BC-BA=^BD~BA=y[3(AD~AB)+AB=迈乔+(1—羽)乔.头AD丄ABfAD=l.；・疋乔=书巫2+(i一曲乔.忌=书解析建系如图所示.RC=(xc—xf{,y{.),RIJEC=y/3胡,・・・/.x6.=(1-)xfi,y