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1、06—平面向量的数量积及其应用突破点(一)平面向量的数量积1．向量的夹角；2．平面向量的数量积；3．平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算1.利用坐标计算数量积的步骤第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用；第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可．2．根据定义计算数量积的两种思路(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量
2、积的定义和性质进行计算求解．[典例](1)设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于()7135A．－B．－C.D.2222(2)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DCuuur2uuuruuur1uuuruuuruuur上，且BE＝BC，DF＝DC，则AE·AF的值为________．36[解析](1)a＋2b＝(－1,2)＋2(m,1)＝(－1＋2m,4)，2a－b＝2(－1,2)－(m,1)＝(－2－m,3)，由题1115意得3(－1＋2m)－4(
3、－2－m)＝0，则m＝－，所以b＝－，1，所以a·b＝－1×－＋2×1＝.2222uuuruuuruuuruuuruuur2uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur(2)取BA，BC为一组基底，则AE＝BE－BA＝BC－BA，AF＝AB＋BC＋CF＝－BA3uuur5uuur7uuuruuuruuuruuur2uuuruuur7uuuruuur7uuur2＋BC＋BA＝－BA＋BC，∴AE·AF＝BC－BA·－BA＋BC＝
4、BA
5、12123121225uuuruuur2uuur2725122929－BA·BC＋
6、BC
7、＝×4－×2×1×＋＝.[答案](
8、1)D(2)1831218231818[易错提醒](1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．(2)两向量a，b的数量积a·b与代数中a，b的乘积写法不同，不能漏掉其中的“·”．突破点(二)平面向量数量积的应用平面向量数量积的性质及其坐标表示：模、夹角、a⊥b
9、、a·b
10、与
11、a
12、
13、b
14、的关系平面向量的垂直问题1.利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条
15、件，列出相应的关系式，进而求解参数．uuuruuur[例1](1)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论正确的是()uuurA．
16、b
17、＝1B．a⊥bC．a·b＝1D．(4a＋b)⊥BC(2)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝()915A．－B．0C．3D.22uuuruuuruuuruuur[解析](1)在△ABC中，由BC＝AC－AB＝2a＋b－2a＝b，得
18、b
19、＝2，A错误．又AB＝2a且uuuruuur
20、AB
21、＝2，所以
22、a
23、＝1，所以a·b＝
24、a
25、
26、b
27、co
28、s120°＝－1，B，C错误．所以(4a＋b)·BC＝(4a＋b)·buuur2＝4a·b＋
29、b
30、＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥BC，D正确，故选D.(2)∵(2a－3b)⊥c，∴(2a－3b)·c＝0.∵a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，∴2a－3b＝(2k－3，－6)．∴(2k－3，－6)·(2,1)＝0，即(2k－3)×2－6＝0.∴k＝3.[答案](1)D(2)C[易错提醒]x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．平面向量模的相关问
31、题利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：22222(1)a＝a·a＝
32、a
33、；(2)
34、a±b
35、＝a±b＝a±2a·b＋b.π[例2](1)(2017·衡水模拟)已知
36、a
37、＝1，
38、b
39、＝2，a与b的夹角为，那么
40、4a－b
41、＝()3A．2B．6C．23D．121(2)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则
42、b
43、＝________.2222π[解析](1)
44、4a－b
45、＝16a＋b－8a·b＝16×1＋4－8×1×2×cos＝12.∴
46、4a－b
47、＝23.311(2)∵e1·e2＝，
