学案27平面向量的数量积及其应用

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1、学案27　平面向量的数量积及其应用导学目标：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．自主梳理1．向量数量积的定义(1)向量数量积的定义：____________________________________________，其中

2、a

3、cos〈a，b〉叫做向量a在

4、b方向上的投影．(2)向量数量积的性质：①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝__________________；②非零向量a，b，a⊥b⇔________________；③a·a＝________________或

5、a

6、＝________________；④cos〈a，b〉＝________；⑤

7、a·b

8、____

9、a

10、

11、b

12、.2．向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝________；(2)分配律：(a＋b)·c＝________________；(3)数乘向量结合律：(λa)·b＝________________.3．向

13、量数量积的坐标运算与度量公式(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝________________________；(2)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b⇔________________________；(3)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则

14、a

15、＝________________，cos〈a，b〉＝____________________________.(4)若A（x1，y1），B（x2，y2），则

16、＝____________

17、____________，所以

18、

19、＝_____________________.自我检测1.（2010·湖南）在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4,则·等于(　　)A．－16B．－8C．8D．162．(2010·重庆)已知向量a，b满足a·b＝0，

20、a

21、＝1，

22、b

23、＝2，则

24、2a－b

25、＝(　　)A．0B．2C．4D．83．(2011·福州月考)已知a＝(1,0)，b＝(1,1)，(a＋λb)⊥b，则λ等于(　　)A．－2B．2C.D．－4.平面上有三个点A（-2，y），B（0，），C（x，y），若⊥，则动点C的轨迹方程为___

26、_____________．5.（2009·天津）若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________.探究点一　向量的模及夹角问题例1　(2011·马鞍山月考)已知

27、a

28、＝4，

29、b

30、＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求

31、a＋b

32、；（3）若＝a，＝b，求△ABC的面积．变式迁移1　(1)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则

33、c

34、的最大值是(　　)A．1B．2C.D.(2)已知i，j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj

35、，且a与b的夹角为锐角，实数λ的取值范围为________．探究点二　两向量的平行与垂直问题例2　已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且ka＋b的长度是a－kb的长度的倍(k>0)．(1)求证：a＋b与a－b垂直；(2)用k表示a·b；(3)求a·b的最小值以及此时a与b的夹角θ.变式迁移2　(2009·江苏)设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求

36、b＋c

37、的最大值；(3)若tanαtanβ

38、＝16，求证：a∥b.探究点三　向量的数量积在三角函数中的应用例3　已知向量a＝，b＝，且x∈.(1)求a·b及

39、a＋b

40、；(2)若f(x)＝a·b－

41、a＋b

42、，求f(x)的最大值和最小值．变式迁移3（2010·四川）已知△ABC的面积S=··＝3，且cosB＝，求cosC.1．一些常见的错误结论：(1)若

43、a

44、＝

45、b

46、，则a＝b；(2)若a2＝b2，则a＝b；(3)若a∥b，b∥c，则a∥c；(4)若a·b＝0，则a＝0或b＝0；(5)

47、a·b

48、＝

49、a

50、·

51、b

52、；(6)(a·b)c＝a(b·c)；(7)若a·b＝a·c，则b＝c

53、.以上结论都是错误的，应用时要注意．2．平面向量的坐标表示与向量表示的比较：已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是向量a与b的夹角.向量表示坐标表示向量a的模

54、a

55、＝＝

56、a

57、＝a与b的数量积a·b＝

58、a

59、

60、b

61、cosθa·b＝x1x2＋y