平面向量的数量积(27)

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1、第3讲　平面向量的数量积【2013年高考会这样考】1．考查平面向量数量积的运算．2．考查利用数量积求平面向量的夹角、模．3．考查利用数量积判断两向量的垂直关系．【复习指导】本讲复习时，应紧扣平面向量数量积的定义，理解其运算法则和性质，重点解决平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系．　　基础梳理1．两个向量的夹角已知两个非零向量a和b(如图)，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角，当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；当θ＝时，我们说a与b垂直，记作a⊥b.2．两个向量的数量积的定义已知两个非

2、零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量

3、a

4、

5、b

6、cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝

7、a

8、

9、b

10、cosθ，

11、b

12、cosθ叫做向量b在a方向上的射影．规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.3．向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度

13、a

14、与b在a的方向上的投影

15、b

16、cosθ的数量积．4．向量数量积的性质设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则(1)e·a＝a·e＝

17、a

18、cosθ；(2)a⊥b⇔a·b＝0；(3)当a与b同向时，a·b＝

19、a

20、·

21、b

22、；当a与b反向时，a·b＝－

23、a

24、

25、b

26、，特别的，a·a＝

27、a

28、

29、2或者

30、a

31、＝；(4)cosθ＝；(5)

32、a·b

33、≤

34、a

35、

36、b

37、.5．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.6．平面向量数量积的坐标运算设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则(1)a·b＝x1x2＋y1y2；(2)

38、a

39、＝；(3)cos〈a，b〉＝；(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.7．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝a，则

40、a

41、＝(平面内两点间的距离公式)．一个条件两个向量垂直的充要条件：a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.两个探究(

42、1)若a·b＞0，能否说明a和b的夹角为锐角？(2)若a·b＜0，能否说明a和b的夹角为钝角？三个防范(1)若a，b，c是实数，则ab＝ac⇒b＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．(2)数量积运算不适合结合律，即(a·b)c≠a(b·c)，这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，a(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a·b)c与a(b·c)不一定相等．(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，与的夹角应为

43、120°，而不是60°.双基自测1．(人教B版教材习题改编)已知

44、a

45、＝3，

46、b

47、＝2，若a·b＝－3，则a与b的夹角为(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.B.C.D.解析　设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－.又0≤θ≤π，∴θ＝.答案　C2．若a，b，c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是(　　)．A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)B．(a＋b)·c＝a·c＋b·cC．m(a＋b)＝ma＋mbD．(a·b)·c＝a·(b·c)答案　D3．(2011·广东)若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　　)．A．4B．3C．2

48、D．0解析　由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.答案　D4．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于(　　)．A．9B．4C．0D．－4解析　a－b＝(1－x,4)．由a⊥(a－b)，得1－x＋8＝0.∴x＝9.答案　A5．(2011·江西)已知

49、a

50、＝

51、b

52、＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．解析　由

53、a

54、＝

55、b

56、＝2，(a＋2b)(a－b)＝－2，得a·b＝2，cos〈a，b〉＝＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]所以〈a，b〉＝.答案　　　考向一　求两平面向量的数量

57、积【例1】►(2011·合肥模拟)在△ABC中，M是BC的中点，

58、

59、＝1，＝2，则·(＋)＝________.[审题视点]由M是BC的中点，得＋＝2.解析　如图，因为M是BC的中点，所以＋＝2，又＝2，

60、

61、＝1，所以·(＋)＝·2＝－4

62、

63、2＝－

64、

65、2＝－，故填－.答案　－当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知识．【训练1】如图，在菱形ABCD中，若AC＝4，则·＝________.解析　＝