平面向量的数量积及其应用精品

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1、平面向量的数量积及其应用自主梳理1．向量数量积的定义(1)向量数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量___.

2、a

3、

4、b

5、cosθ_____叫做a和b的数量积(或内积)，记作__a·b＝

6、a

7、

8、b

9、cosθ_____，其中向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影；注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0°≤q≤180°。C规定：零向量与任一向量的数量积为___　0_____.即（2）平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度

10、a

11、与b在a的方向上的投影___

12、_

13、b

14、cosθ_____的乘积.(3)平面向量数量积的重要性质：①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝__

15、a

16、cosθ________；②非零向量a，b，a⊥b⇔____a·b＝0____________；③当a与b同向时，a·b＝__

17、a

18、

19、b

20、___；（两个非零向量a与b垂直的充要条件是__a·b＝0__）当a与b反向时，a·b＝__－

21、a

22、

23、b

24、______，a·a＝__a2___＝_

25、a

26、2___，

27、a

28、＝_______；（两个非零向量a与b平行的充要条件是__a·b＝±

29、a

30、

31、b

32、___）④cosθ＝_______

33、___；⑤

34、a·b

35、_≤___

36、a

37、

38、b

39、.2．向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝__b·a______；(2)分配律：(a＋b)·c＝___________a·c＋b·c_____；(3)数乘向量结合律：(λa)·b＝__λ(a·b)______________.3．向量数量积的坐标运算与度量公式(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y(2)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)设

40、两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cosθ＝__________.(4)若a＝(x，y)，则

41、a

42、2＝或

43、a

44、＝.(5)若A（x1，y1），B（x2，y2），则＝______(x2－x1，y2－y1)　___，所以

45、

46、＝___________.点评：1.向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围.2.a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.3.一般地，(a·b)c

47、≠(b·c)a即乘法的结合律不成立.因a·b是一个数量，所以(a·b)c表示一个与c共线的向量，同理右边(b·c)a表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，故一般情况下(a·b)c≠(b·c)a.4.a·b＝a·c(a≠0)不能推出b＝c，即消去律不成立.5.向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，〈，〉应为120°，而不是60°.自我检测1.已知向量a和向量b的夹角为135°，

48、a

49、＝2，

50、b

51、＝3，则向量a和向量b的数量积a·b＝___－3　_____.2.在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4,则·等于(　　)A

52、．－16B．－8C．8D．163．已知向量a，b满足a·b＝0，

53、a

54、＝1，

55、b

56、＝2，则

57、2a－b

58、＝(　　)A．0B．2C．4D．8B　＝＝＝2.4.已知a⊥b，

59、a

60、＝2，

61、b

62、＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为________.5.已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为______.6.设a，b，c是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有____②④____①(a·b)c－(c·a)b＝0；②

63、a

64、－

65、b

66、<

67、a－b

68、；③(b·c)a－(a·c)b不与c垂直；④(3a＋4b)

69、·(3a－4b)＝9

70、a

71、2－16

72、b

73、2.7.平面上有三个点A（-2，y），B（0，），C（x，y），若⊥，则动点C的轨迹方程为________________．解析　由题意得＝，＝，又⊥，∴·＝0，即·＝0，化简得y2＝8x(x≠0)．8.若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________.解析　合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C(0,0)，A(2，0)，B(，3)，这样利用向量关系式，求得＝，＝，＝，所以·＝－2.　题型一　平面向量的数量积的运算例1　（1）已知a，b是平面内两个互相垂直的

74、单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则

75、c

76、的最大值是________.(2)如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，

77、

78、＝1，则·等于(　　)　A.2B.C.D.解法1基底法:　∵＝，∴＝－＝－＝(－)＋＝＋(1－).又AD⊥AB，

79、

80、＝1.∴·＝＋