平面向量的数量积(29)

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1、第九讲平面向量的数量积一、引言本节主要内容：平面向量数量积的物理背景、数量积的定义及其几何意义、数量积的性质、数量积的运算律、数量积的坐标表示、平面向量的模、向量的夹角等内容，通过本节学习，进一步加深对平面向量的运算的认识，掌握通过向量的坐标表示，将几何问题转化为代数问题来解决的方法，领悟数学知识间的内在联系和数形结合的重要数学思想，提高合情推理能力．对于平面向量的数量积的要求如下：①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面

2、向量的垂直关系．本节在高考中以选择题、填空题考查本章的基本概念和性质，重点考查平面向量的数量积的概念及应用，重点体会向量为代数几何的结合体．平面向量的综合问题是属于新的热点题型，其形式为与直线、圆锥曲线、解三角形、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主．二、考点梳理1．平面向量数量积的物理背景我们知道，如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功，其中是与的夹角．2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有，（）．我们规定，零向量与任何向量的数量积为0．两个向量的数量积与实数与实数的积有很大区别：（1）两个向量的数量积

3、是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定；（2）两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替；（3）在实数中，若，且，则；但是在向量的数量积中，若，且，不能推出，因为其中有可能为0．（4）已知实数、、()，则．但是．如图所示：，，8则，但显然.(5)在实数中，有，但是．显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而与不一定共线．3．“投影”的概念定义：叫做向量在方向上的投影．注意：（1）投影也是一个数量，不是向量，它可正可负，可以为零；（2）当为锐角时投影为正值；当为钝角

4、时投影为负值；当为直角时投影为0；当时投影为；当时投影为．4．向量的数量积的几何意义数量积等于的长度与在方向上投影的乘积．5．两个向量的数量积的性质设、为两个非零向量，是与同向的单位向量．（1）；（2）；（3）当与同向时，；当与反向时，；特别的或；（4）；（5）．6．平面向量数量积的运算律（1）交换律：；（2）数乘结合律：(；（3）分配律：.8说明：有如下常用性质：；；．7．平面向量数量积的坐标表示（1）已知两个非零向量，，设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么，，所以,又，，，所以．这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即．（2）平面内两点间的距离公式若，则或；若向量的有

5、向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)．（3）向量垂直的判定设，，则．（4）两向量夹角的余弦（）．8．向量中一些常用的结论（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2），特别地，当同向时有；当反向时有；当不共线(这些和实数比较类似).（3）在中，①若，则其重心的坐标为：；8②为的重心；③为的垂心；④向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；（4）向量中三终点共线存在实数使得且．例如平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,，若点满足，其中且，则点的轨迹是直线．三、典例例题选讲例1判断下列各命题正确与否：（1）；（2）；（3）若，则；（4）若，则当

6、且仅当时成立；（5）对任意向量都成立；（6）对任意向量，有．解析：（1）错；（2）对；（3）错；（4）错；（5）错；（6）对．归纳小结：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别与联系，重点清楚为零向量，而为零．例2（06湖南）已知，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（）A．B．C．D．解析：，且关于的方程有实根，则8，设向量的夹角为，，∴，故选B．归纳小结：对于平面向量的数量积要学会技巧性应用，解决好实际问题．本题是将数量积运算与一元二次方程的根以及三角函数建立联系，体现向量知识的学科内应用．如在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性．例3（

7、2009浙江卷理）设向量，满足：，，，以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为()A．　　B．　　C．　　D．解析：对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．所以答案为B.归纳小结：平面向量与平面几何、解析几何有密切联系，也是常考的知识交汇点，应引起足够的重视，并充