线性代数矩阵相关练习题.doc

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1、向量组的线性相关性----习题课如何正确理解线性相关（无关）的定义判断下列命题是否正确。如果对，加以证明；如果错，举出反例。(1)若有不全为0的数使成立,则线性相关,亦线性相关.解：错。原式可化为取其中为单位向量,则原式成立,而；均线性无关。(2)若向量组是线性相关的,则其中每个向量都是其余向量的线性组合。解错。反例1：设，满足线性相关,但不能由线性表示.反例2：，，(3)如果向量组的一个线性组合等于零向量，那么该向量组线性相关。解：不一定。因为任何一个向量组都有一个性质：系数全为0的线性组合一定是零向量。若还有系数不全为零的线性组合也是零向量，则线性相关；否则线性无关。(4)若a

2、能表示为则向量组线性相关.解：正确。(7)若有一组不全为0的数使成立,则线性无关.解：错。任何一组数满足上式才行。(6)若时，有成立,则线性无关.解：错。将“若……”改为“只有……”，结论才正确。反例：，，，线性相关；，，，线性无关。（5）若向量b不能由向量组线性表出，则向量组b,线性无关。解：不一定。反例1：，，，线性相关；反例2：，，，线性无关。正确命题为：如果线性无关，且向量b不能由向量组线性表出，则向量组b,线性无关。其逆否命题为：设线性无关，而向量组b,线性相关，则B可由线性表出，且表示法唯一。（8）若零向量只能用唯一的方式表示成向量组的线性组合，则线性无关。解：正确。（

3、9）若只有当全为0时,等式才能成立,则线性无关,亦线性无关.解：由(仅当)线性无关，但若取取为线性无关组满足以上条件,但不能说是线性无关的.(10)若线性相关,亦线性相关,则有不全为0的数,使同时成立.解：与题设矛盾.如何证明两向量组等价1.根据等价的定义证之。例1：向量组与其最大无关组等价。例2：两等价的向量组中分别任取一个最大无关组，证明这两个最大无关组等价。例3：设向量b可由向量组线性表出，但b不能由向量组线性表出，试证向量组（I）与向量组（II）等价。2.对于具体两向量组，可利用初等变换，证明它们等价。方法：先对（I，II）进行初等行变换，将I化为等价标准形，看II是否能被

4、I表示；再地（II，I）进行初等行变换，将II化为标准形，看I是否能被II表示。如何证明向量组相关（或无关）1．设,证明向量组线性相关.证明设有使得则(1)若线性相关,则存在不全为零的数,;;;;由不全为零,知不全为零,即线性相关.(2)若线性无关,则由知此齐次方程存在非零解则线性相关.综合得证.2．设,且向量组线性无关,证明向量组线性无关.证明设，则因向量组线性无关,故因为故方程组只有零解则所以线性无关3．设是一组维向量,已知维单位坐标向量能由它们线性表示,证明线性无关.证明维单位向量线性无关不妨设:所以　两边取行列式，得由即维向量组所构成矩阵的秩为故线性无关.