线性代数——矩阵

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1、矩阵考试内容：矩阵的概念；矩阵的线性运算、矩阵的乘法，方阵的幂，方阵乘积的行列式，矩阵的转置，逆矩阵的概念和性质；矩阵可逆的充要条件，伴随矩阵，初等矩阵、矩阵的秩、矩阵的等价，分块矩阵及其运算。考试要求：理解矩阵的概念，了解单位矩阵数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及他们的性质。掌握矩阵的线性运算、矩阵的乘法转置以及他们的运算规律，了解方阵的幂与乘积的行列式的性质。理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆矩阵。理解初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵秩的概念，掌握用初等变换求矩阵秩的方法。了

2、解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则。一内容概要1矩阵的概念注意它和行列式的区别：1）表现形式上的差别；2）表现本质上的差别，一个是数（行列式是数），而矩阵是一个符号；3）一般地当A是一个方阵时候，才有意义，但是；此外当A是长方形矩阵时没有意义。2矩阵的运算及其运算律（1）矩阵的相等；（2）矩阵的线性运算：a)矩阵的和：A+B注意A和B要是阶数一致的矩阵（或称同型矩阵）；b)矩阵的数乘（或称数乘矩阵）；c)一般地，若有意义，称为矩阵的一个线性运算；3矩阵的转置将矩阵A的行列互换，得到新的矩阵，称为矩阵A的转置。4矩阵的乘法矩阵乘法的定义：注意指出：在定义中，第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的

3、行数，而5关于矩阵运算的运算律要注意的问题：1）一般地原因是a)AB与BA不一定同时有意义；b)即使AB与BA都有意义，AB与BA的阶数也未必一致；例如；c)即使AB与BA其阶数相同，但AB与BA也未必相同；如果AB=BA，则称A与B是可以交换的。例如2）矩阵的乘法不满足消去律，即一般地若3）若3几种特殊类型的矩阵（1）0矩阵；（2）单位矩阵；（3）对角矩阵；数量矩阵；（4）三角矩阵；上三角、下三角矩阵；（5）对称矩阵：若；（6）反对称矩阵：若；关于反对称矩阵常用的结论：1）A的主对角线上的元素全是0；2）若A是奇数阶行列式，则;(7)正交矩阵：若，则称A是正交矩阵。关于正交矩阵与对称矩阵的关

4、系有：若A是一个实对称矩阵，则存在一个正交矩阵T使得：；（8）阶梯形矩阵若A满足：0行全在非0行的下方，非0行的第一个非0的数它的下面的数全是0（若有的话）；关于阶梯形矩阵：任意一个矩阵A都可以通过初等变换化为阶梯形矩阵；（9）分块矩阵；对一个矩阵进行适当的分快，可以带来很多方便，它有很多的应用；（10）初等矩阵：初等矩阵与矩阵的初等变换关系非常密切，要充分理解它的概念和它的作用。4分块矩阵当一个矩阵的阶数较高时，对此矩阵进行恰当的分块，更能容易看清其矩阵的规律和问题的结构特点。矩阵分块的原则：在同一行中，其各个块矩阵的行数一致，在同一列中，其块矩阵列数一致；分块矩阵运算的原则：（1）分块矩阵

5、的加法：若A+B,其对矩阵A,B的分块方法完全一致；（2）分块矩阵的乘法：若AB，其对第一个矩阵的列的分法同第二个矩阵行的分法完全一致。5初等矩阵、矩阵的初等变换、矩阵的等价（1）初等矩阵的定义：对单位矩阵进行一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵；用四阶单位矩阵来说明初等矩阵的几种形式。（2）初等变换初等行变换、初等列变换；（3）初等变换与初等矩阵之间的关系对矩阵A做一次初等行变换成为B，则B=PA（其中P是与行变换相对应的初等矩阵）举例说明：对于矩阵A作一次初等列变换成为B，则B=AP（其中P是与上述列变换相对应的初等矩阵）。举例说明(4)矩阵A与B等价如果A能够通过初等变换变为B则称A与B

6、等价，用式子表示就是：是初等矩阵每一个矩阵A都与矩阵等价，其中r是矩阵A的秩，即存在6关于n阶矩阵的逆矩阵（1）逆矩阵的定义：设A是一个n阶矩阵，若有n阶方阵B使得AB=E或BA=E则称矩阵A是可逆的；（2）n阶方阵A可逆的充要条件1）用矩阵的方式描述：存在矩阵B使得AB=E或BA=E(即定义）；2）用A的行列式;3）用矩阵的秩来描述：4）用向量的观点来描述：矩阵A的行向量组（或列向量组）线性无关；5）用方程组的观点来描述：方程组AX=0仅有0解；6）用矩阵A的特征值来描述：A的特征值全不0；（3）逆矩阵的性质1）若A有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的；2）若A,B是同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且;3

7、）;4）（4）逆矩阵的求法1）具体的数字矩阵常用的方法是用伴随矩阵的方法；或用初等变换的方法。这是两种最基本的方法，应该熟练，特别是对于三阶矩阵；初等变换求逆矩阵的方法：2）对于抽象的矩阵A,求此逆矩阵，常用的方法是想办法找到矩阵B使得：AB=E，或BA=E，此时的B就是所求的逆矩阵；3）如果要判断矩阵A是否可逆，就考虑上述的矩阵可逆的充要条件；（5）关于伴随矩阵1)伴随矩阵的定义，强调伴随矩阵中