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1、第二章矩阵-2-矩阵诞生于19世纪，晚于行列式约一百年。它是从生产实践和科学技术问题中抽象出来的一个数学概念，它在线性代数中既是最基本的研究对象，又是最重要的研究工具，它贯穿线性代数的各个方面。从表面上看，矩阵与行列式不过是一种数学语言和书记符号；但是，正是这种“结构好的语言的好处，它的简洁的记法常常是深懊理论的源泉。”(P.S.Laplace)进入20世纪，线性代数的发展曾一度被认为相当成熟，作为研究课题已寿终正寝。随着电子计算机的发展，各种快速算法相继涌现，矩阵数值分析快速发展，矩阵理论研究进入一个新的发展阶段。1、理解矩阵概念，知道零矩阵、单位阵、对
2、角阵、对称阵等特殊矩阵。2、熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算以及它们的运算规律。3、知道矩阵的分块方法。4、理解逆矩阵的概念及其存在的充分必要条件。掌握求逆阵的方法。5、熟练掌握矩阵的初等变换。本章基本要求本章重点矩阵的乘法、逆阵及矩阵的初等变换。§1矩阵的概念在很多实际问题中，我们常常会碰到具有m个方程n个末知量的最一般形式的线性方程组：对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原来相对位置不变可排为定义1由mn个数aij(i=1,2，…，m；j=1,2，…，n)排列成的m行n列的数表：简记为(aij)m×n,aij
3、表示矩阵A的第i行、第j列的元素。称为m行n列的矩阵，简称为m×n阶矩阵。常记为矩阵通常用大写字母A、B、C等表示。元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.例如是一个实矩阵,是一个复矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵.4方阵A的元素按原来相对位置不变所构成的n阶行列式称为方阵A的行列式，记为
4、A
5、或detA。例如是一个3阶方阵.几种特殊矩阵（1）n阶方阵只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).称为对角矩阵(或对角阵）.（3）形如的方阵,(2)只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量)。记作（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.注意
6、不同阶数的零矩阵是不一样的.例如(5)单位矩阵称为单位矩阵（或单位阵）。同型矩阵与矩阵相等的概念1、两个矩阵的行数相等，列数相等时，称为同型矩阵。2.两个矩阵A=(aij)，B=(bij)为同型矩阵，并且对应元素相等，即则称矩阵A与B相等，记作例如为同型矩阵.(6)上(下)三角矩阵(7)对称阵与反对称阵(8)负矩阵例如则§2.2矩阵的运算矩阵的意义不仅仅在于将一些数据排成一个有规律的数表形式，更重要的是在于当我们对它定义了一系列运算后，矩阵可以像数一样运算，从而使得矩阵成为进行理论研究和解决实际问题的有力工具。定义设有两个mn矩阵A=(aij)，B=(b
7、ij),那末矩阵A和B的和记作A+B，规定为一、矩阵的加法例1有某种物资（单位：吨）从3个产地运往4个销地，两次调运方案分别为矩阵A与矩阵B：则从各产地运往各销地两次的物资调运量（单位：吨）共为：矩阵加法满足下列运算规律：性质1设A、B、C是同型矩阵，则(1)交换律：A+B=B+A；(2)结合律：(A+B)+C=A+(B+C)；(3)A+O=A，其中O是与A同型的零矩阵。矩阵的减法：显然有A-A=O二、数乘矩阵定义数与矩阵A的乘积记作A，规定为：例1设有3个产地与4个销地的里程（单位：公里），为矩阵A：如果运费为1.5元/公里，则运费矩阵为：矩阵的数乘
8、满足下列运算规律：性质2设A，B是同型的矩阵，、为常数，则(1)()A=(A)=(A)；(2)(+)A=A+A；(3)(A+B)=A+B；(4)A=O，当且仅当=0或A=O。矩阵相加与数与矩阵的数乘统称为矩阵的线性运算。显然，(－1)A=－A，－(－A)=A。先从一个例子开始:第一周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：假设牛肉、羊肉、鸡蛋的价格在一周之内不发生变化，记录近三周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格，得到如下价格矩阵(人民币/千克).第二周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：第三周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：设某个家庭每周对牛肉、羊肉、鸡蛋的需求分别是
9、3千克、4千克、2千克。则需求矩阵B表示为：三、矩阵与矩阵相乘这个家庭近三周对上述三种食品的需求开支分别为：这个计算过程可以用如下的矩阵形式来表示：第一周：12×3+11×4+6×2=92（元）第二周：11×3+11×4+7×2=91（元）第三周：11×3+10×4+7×2=87（元）又例，设有两个线性变换（2.1)(2.2),,,,,23213132221212212111132322212123132121111ïîïíì+=+=+=îíì++=++=tbtbxtbtbxtbtbxxaxaxayxaxaxay(2.1)称为从变量Y到变量X的线性变换；(
10、2.2)称为从变量X到变量T的线性变换。它们的系数矩阵分别是如要求
