线性代数课件--2.4矩阵的分块 子矩阵.ppt

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1、1、分块运算2、矩阵按列分块§2.4矩阵的分块子矩阵3、子矩阵分块矩阵的意义对于行数和列数较高的矩阵A，为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.1、分块运算将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.矩阵分块的做法例如下面的3×5矩阵，可以分块为：3221即其中又如：分块对角阵或拟对角阵例设试计算乘积AB.解利用行乘列法则可直接算出4阶矩阵AB，若采用分块技术，写成分块的原则除了使其显示特点、取得简化运算的效果外，更要注意使其分块后出现的子块间的运算有意义.分块矩阵的运算规则例设解其中例设

2、解于是则又例其中其中对矩阵按列分块，是一种技术、一种看法,有了分块，使线性代数方程、矩阵、向量空间三者将交织在一起互动地发展，这对理解或解释线性代数的有关概念和问题常有帮助.2、矩阵按列分块其中aj是A的第j列，.如A被看作是以向量为元的行向量ai是A的第i行，.其中A被看作是以向量为元的列向量若A=[aij]是mn矩阵，B=[bij]是ns矩阵，对A、B分别按行及按列分块：ai是A的第i行，.bj是B的第j列，.则有若记AB=C=[cij]，那么[cij]=aibj=若对方阵A=[aij]此时，ATA=I可写成根据正交阵的定义，AAT=ATA=I按列分块，则即即由对应位

3、置元分别相等，上式可推出其中即则满足以下三个条件的矩阵为正交阵：（1）行数等于列数（即矩阵为方阵）；（2）每列元的平方和为1；（3）相异列对应元的乘积之和都是0.正交阵的几何解释Ax=b写成对系数矩阵的按列分块，还可把线性代数方程组从而得到方程组的向量形式：这样，方程组有解的条件是b可作为的“线性组合”.a1，a2，…，an而求解方程组可几何地解释为：“线性表出”时的系数.求向量b用向量组a1，a2，…，an等价于对于逆矩阵概念，除了对角阵以及正交阵的特殊情形外，尚未涉及其计算问题.事实上，对已知的n阶可逆阵A，若将其逆矩阵B按列分块，写成B=[b1b2…bn]，将单位阵I按

4、列分块，写成I=[e1e2…en]，则定义式AB=IAbi=ei，i=1,2,…,n于是，求A的逆矩阵B(即A-1)的问题被归结成“解n个具有相同系数矩阵A的线性代数方程组”其中，第i个方程组的自由项向量ei为n阶单位阵的第i个列向量.定义对给定的mn矩阵A，取其r行(1≤r≤m)s列(1≤s≤n)，则位于交叉位置的rs个元可按照原来的相对位置构成一个rs矩阵，称这样的矩阵为A的子矩阵.例如若取其第2、4行及第2、3、5列可得23子矩阵3、子矩阵在分块技术中得到的每个块都可看作是所给矩阵的一个子矩阵,而且每个矩阵也可看作是自身的一个特殊的子矩阵.定义对于n阶方阵A，可获

5、得从1阶开始直到n阶的一类重要的特殊方子矩阵，这种k阶方子矩阵称之为A的k阶前主子矩阵，记作A[k].例如它的3个前主子矩阵为：1、其对角线元是A的前k个对角线元a11,a22,…,akk2、这是自A的左上角起直到其自身的一类方子矩阵.k阶前主子矩阵的特点一般地说，凡对角线元全为A对角线元的子矩阵，称为A的主子矩阵，如就是A的另外两个2阶主子矩阵.思考题证思考题解答作业P66.2-10,2-12,2-19.