线性代数矩阵课件.ppt

《线性代数矩阵课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二章矩阵§2.1矩阵的概念§2.2矩阵的运算§2.3逆方阵§2.4分块矩阵m个方程，n个未知数线性方程组(systemoflinearequations)的一般形式为系数矩阵增广矩阵为方便存储和计算，我们来研究下面的数表——2.1矩阵的概念定义1称为m行n列矩阵，简称其中诸叫做该矩阵的元素，矩阵可以简记矩阵元素全是零的矩阵叫做零矩阵，记为O矩阵的行数和列数相等，称之为方阵。把n行n列矩阵称为n阶方阵或n阶矩阵，简称n阶阵单位矩阵对角矩阵上三角形矩阵下三角形矩阵行矩阵(行向量)列矩阵(列向量)例1间的关系式线性变换.系数矩阵线性变换与矩阵

2、之间存在着一一对应关系.若线性变换为称之为恒等变换.对应单位阵.线性变换对应这是一个以原点为中心旋转角的旋转变换.定义2求2.2矩阵的运算定义1.3那么矩阵A与矩阵B的和记作A+B,规定为对应元素相加注：两个矩阵行数相等，列数也相等时，就称它们是同型矩阵一矩阵的加减法矩阵的加法满足下列运算规律(i)A+B=B+A(交换律）(ii)(A+B)+C=A+(B+C)(结合律）(iii)A+O=O+A=A-A称为矩阵A的负矩阵，显然有A+(-A)=(-A)+A=O矩阵的减法：A-B=A+(-B)对应元素相减定义1.4（1）（2）（3）（4）（5）

3、（6）二矩阵的数乘运算例引入：设有两个线性变换将(2)带入(1)便得到从把线性变换(3)叫做线性变换(1)与(2)的乘积，相应把(3)对应的矩阵定义为(1)与(2)所对应的矩阵的乘积，即三矩阵的乘法由此可以这样定义矩阵的乘法：矩阵乘法的法则：乘积矩阵AB=C的第i行第j列元素等于前矩阵A的第i行的各元素与后矩阵B的第j列中顺次对应的各个元素的乘积之和。定义1.5并记作例：矩阵乘法2.1.由此定义可见，如果记则线性方程组（1.1）可以通过矩阵的乘法表示成矩阵方程：事实上，矩阵不仅能用于描述线性方程组，在工业、农业、经济等许多领域都有着广泛的

4、应用，比如——矩阵A表示两车间生产三种产品的数量矩阵B表示三种产品的单位产品消耗两种原料的数量车间一车间二面包蛋糕饼干面包蛋糕饼干糖面粉列1：则各车间消耗的原料为一二糖面粉矩阵的乘法虽不满足交换律，但仍满足下列结合律和分配律(1)(2)(3)(4)与数的乘法相比，矩阵乘法具有以下特点：乘积AB中A的列数必须与B的行数相同，否则无意义；2.矩阵的乘法一般不可交换，即一般情况下，AB≠BA；AB有意义时，BA不一定有意义如果AB、BA都有意义，是否有AB=BA?例设求AB矩阵与矩阵相乘不满足交换律，AB有意义，但BA不一定有意义例设AB求AB

5、和BABAAB和BA都意义，但不同型32()例求AB和BAABBA(1)AB与BA都有意义，且同型，但AB与BA不相等(2)两个非零矩阵相乘可能是零矩阵,即不满足消去率所以，对于任意两矩阵A、B，AB不一定等于BA！AB=BA则AB与BA都有意义，且同型，AB与BA相等只有同阶方阵才有可能满足AB=BA!如果同阶方阵A和B满足AB=BA,则称A与B可交换。两个非零矩阵相乘有可能变为零矩阵。因而，由AB＝0不能推出A＝0或B＝0；同样的道理，由AB＝AC且A≠0，并不能推出B＝C。上例中我们看到——而两个因子矩阵均不为零。从而可知——矩阵的

6、加减法、数乘、乘法运算统称为矩阵代数运算。n阶方阵的幂方阵的多项式运算律:注意:定义1.6把矩阵A的各行变成同序数的列得到一个新的矩阵，称之为A的转置(transpose)，记作四、矩阵的转置行列对调注：若A=则称A为对称矩阵例如：运算律：计算解法1则解法2五、方阵的行列式设,定义A的行列式为:运算律:解：2.3逆矩阵CA称C为A的逆矩阵问题:当AX=B成立时,在什么条件下可得到X,如何求出X?若找到一矩阵C使得CA=E，则对AX=B两边左乘C得CAX=CB，故X=CB§2.3逆距阵一、逆矩阵的概念定义1设A为n阶方阵，如果有n阶方阵B存

7、在，使得AB=BA=E则称A可逆，并称B是A的逆距阵(简称A的逆)，记为定理1:若方阵A是可逆的,则有唯一的逆矩阵证明:设B,C均为A的逆矩阵，B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C所以，A的逆是唯一的，约定记为A-1证明：（必要性）因为

8、A

9、≠0,故同理可证:（充分性）解所以A可逆又因为5211022721这是因为证例3:设且AX=B,求出X。解:所以A可逆又因为AX=B，两边同时左乘以A-1得:而推论设A、B为同阶方阵若有ABE(或BAE)则A可逆且B为A的逆矩阵证设有ABE则

10、AB

11、1

12、E

13、

14、

15、A

16、

17、B

18、故

19、A

20、0于是A可逆设其逆矩阵为A1则有BEBA1A1EA1(AB)(A1A)B同理可证若有BAE则BA1因此B为A的逆矩阵这一