线性代数讲义-02矩阵

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1、第二章矩阵第一节矩阵的定义与运算一矩阵的定义行列式的形式是一个数表,实质是一个多项式.然而从很多实际问题中抽象出来的数学概念是真正的数表,而且它的行数与列数还不一定相等,这就是矩阵.定义2.1由个数(,)排成的行列的数表称为矩阵.矩阵中的数称为它的元素.矩阵的行与列的定义与行列式相同.矩阵的第行，第列的元素记作.一般用大写的拉丁字母表示矩阵,例如.为了指出元素,或者指出行数与列数,又写作,或者.只有一行(列)的矩阵又称为行(列)矩阵,一般用小写的拉丁字母,或小写的希腊字母表示行(列)矩阵.为了区分行矩阵的元

2、素，有时用逗号将它们隔开,例如是一个行矩阵.如果矩阵的所有元素都等于0,称为零矩阵,记作,或者.当矩阵的行数与列数相等时,矩阵称为阶方阵.方阵的元素()称为它的主对角元素,其余元素称为非对角元素.主对角元素组成方阵的主对角线.非对角元素都等于零的方阵称为对角阵.主对角元素依次为的对角阵常简记作.主对角元素都等于1的阶对角阵称为阶单位阵,记作,或者.二矩阵的运算如果两个矩阵的行数与列数分别对应相等,称它们为同型矩阵.定义2.2如果两个矩阵与满足(;),则称它们相等,记作.注意一个矩阵的等式,相当于个数量等式.

3、定义2.3设与是同型矩阵,则矩阵称为矩阵的和,记作.设矩阵,则将其所有元素变号得到的矩阵称为的负矩阵,记作.29定义2.4设是同型矩阵,则矩阵称为矩阵与的差.性质2.1设是同型矩阵,则有(1)交换律:;(2)结合律:;(3)零矩阵:;(4)负矩阵:.证只证(1).用定义,得.注意只有同型矩阵才可能相等,也只有同型矩阵才可以相加减.在矩阵加法中,零矩阵的作用相当于数量加法中的0.而负矩阵的作用相当于相反的数.定义2.5设是矩阵,是数,则矩阵称为数与矩阵的积,记作.性质2.2设是同型矩阵,是数,则有(1)结合律

4、:;(2)分配律1:;(3)分配律2:;(4)数乘:,,;(5)零矩阵:;(6)消去律：如果,则或者,或者.证只证(6).设矩阵,则已知.由矩阵相等的定义,有(;).如果,则(;),即.注意矩阵相加减,即前一个矩阵的每个元素加减后一个矩阵的对应元素.数乘矩阵,即用该数乘以矩阵的每个元素.而行列式的相应运算只对一行或一列进行,两者是完全不同的.例2.1设矩阵,,求.解用定义,得.定义2.6设矩阵,,令,;,则矩阵称为矩阵与的积,记作.29注意只有第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,才可相乘.相乘时,第一个

5、矩阵的第行的每个元素与第二个矩阵的第列的对应元素相乘,再求和,得到乘积的第行,第列的元素.性质2.3矩阵乘法满足下面的运算律.(1)结合律:;(2)分配律:,;(3)数乘矩阵:;(4)单位阵:设,则.证只证(2).设矩阵,,,记,,,则对于;,有.于是,.在矩阵乘法中,单位阵的作用相当于数量乘法中的1.单位阵的名称即由此而来.例2.2设矩阵,,求.解用定义计算,得.按照矩阵乘法的定义,没有意义.即矩阵乘法一般不满足交换律.因此,在做矩阵乘法时,一定要注意哪个矩阵在左边,哪个矩阵在右边.也正是因为没有交换律,

6、所以需要两个分配律,即左分配律与右分配律.例2.3设方阵,求所有满足的二阶方阵.解设,则,.由矩阵方程,得四个数量方程,,,.这个数量方程组有解:,.因此,满足条件的所有二阶方阵形如,其中是任意数.例2.4设方阵,,求与.29解用定义计算,得,.在这里,与都有意义,且都是二阶方阵,但是不相等.即这两个矩阵相乘仍然不满足交换律.而且又出现一个新现象.矩阵都不是零矩阵,但是是零矩阵.因此,由矩阵等式不能断定,或者.与此相关,对于矩阵,由条件,,同样也不能断定.也就是说：对于矩阵乘法，消去律也不成立.当同一个方阵

7、连乘时,可以表示成幂.例如：.用性质2.3可以证明下面的性质.性质2.4设是方阵,是自然数,则(1);(2).例2.5设是阶方阵,求证:等式成立的充分必要条件为.证根据性质2.3,有.因此,如果,则有.如果,则有.注意因为矩阵乘法没有交换律,数的乘法公式一般需要附加条件才能对于矩阵成立.与此相关,一般情况，,除非方阵满足.设多项式,又是阶方阵，是阶单位阵，则是阶方阵,记作.例2.6设,求证:.解1用数学归纳法.当时,有恒等式.假设当时等式成立,即有.当时,有，即当时等式成立.根据数学归纳法原理,等式对于任意

8、正整数成立.解2令,,则,且.根据性质2.3,有.注意例2.5说明:二项式定理一般不成立.这里用到单位阵的特殊性质.29三矩阵的转置定义2.7设矩阵,则矩阵称为矩阵的转置.记作(或者).注意转置是将矩阵的每行变成对应列(同时每列变成对应行),所得到的矩阵.如果是矩阵,则是矩阵.性质2.5矩阵的转置满足下面的运算律.(1)自反律:;(2)加法:;(3)数乘:;(4)乘法:.证只证(4).设矩阵,,令,,,则对于;,