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1、习题课一.单项选择题1.设为n阶可逆矩阵,为的一个特征根,则的伴随矩阵的特征根之一为()A.B.C.D.2.设为非奇异矩阵的一个特征值,则矩阵有一特征值为()A.B.C.D.3.n阶方阵有n个不同的特征值是与对角阵相似的()A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件4.设为n阶矩阵,且与相似,为n阶单位矩阵,则()A.B.与有相同的特征值与特征向量C.与都相似于一对角矩阵D.对任意常数,有与相似二.填空题1.若四阶矩阵与相似,矩阵的特征值为,则行列式2.设n阶方阵伴随矩阵为,且若有特
2、征值,则的特征值为3.矩阵的非零特征值为4.n阶矩阵的元素全是1,则的n个特征值为三、计算题1.设有三个线性无关的特征向量,求和应满足的条件.2.设三阶实对称矩阵的特征值为1,2,3;矩阵的属于特征值1,2,的特征向量分别为（1）求的属于特征值3的特征向量;（2）求矩阵.3.设为的一特征向量.(1)求及特征值;(2)可否对角化?4.设三阶矩阵满足其中试求矩阵.5.设矩阵问为何值时,存在可逆矩阵,使得为对角矩阵？并求出和相应的对角矩阵.4答案一.单项选择题1、解:B.设为的属于的一个特征向量),则,即,从而.注:一般地,我
3、们有:若为的一个特征根,则(1)的特征根为;(2)的特征根为;(3)的特征根为;(4)若可逆,则的特征根为;(5)若,则的特征根为;(6)的特征根为.2、解:B.设为的属于的一个特征向量),则(为实数),所以,的一个特征值为=.3、解:B.4、解:D.二.填空题1、解:24.设为的属于的一个特征向量),可逆,则,,即的特征值为-1,从而(2-1)(3-1)(4-1)(5-1)=24.另一方面,与相似,所以,存在可逆矩阵使得,即,,所以与相似,相似矩阵有相同的行列式,因此,24.2、解:若的特征值为,则的特征值为,的特征值
4、为,所以,的特征值为3、解:4.计算特征行列式.所以,非零特征值为4.44、解:n,0,其中0为n-1重根.(计算方法如上)。三、计算题1、解:所以,的特征值为.因为有三个线性无关的特征向量,所以特征值1有两个线性无关的特征向量,即r()=3-2=1,由秩为1可得:,即和满足.2、解(1)设的属于特征值3的特征向量为矩阵的属于不同特征值的特征向量正交,所以,即为下列方程组的非零解:解得基础解系为.所以的属于特征值3的全部特征向量为为任意实数.(2)记则所以,计算得代入得3、解:(1)设为的属于特征值的一个特征向量),则,
5、解得(2)将代入得,所以–1为的三重特征根.4而,所以不能对角化.4、解:由题意得,令,则用初等行变换计算得,代入得5、解:先计算特征值和特征向量:所以,的特征值为对求解特征矩阵方程要使可以对角化,重特征根对应矩阵方程的基础解系包含向量个数应等于它的重数,所以应有,即=0.进一步求得属于的两个线性无关的特征向量为类似可得特征根的一个特征向量为.令则4
