线性代数关于矩阵的练习题

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1、精品文档线性代数关于矩阵的练习题如何正确理解线性相关的定义判断下列命题是否正确。如果对，加以证明；如果错，举出反例。若有不全为0的数?1,?2,?,?m使?1a1????mam??1b1????mbm?0成立,则a1,?,am线性相关,b1,?,bm亦线性相关.解：错。原式可化为?1????m?0取a1?e1??b1,a2?e2??b2,?,am?em??bm其中e1,?,em为单位向量,则原式成立,而a1,?,am；b1,?,bm均线性无关。若向量组a1,a2,?,am是线性相关的,则其中每个向量都是其余向量的线性组合。

2、解错。反例1：设a1?e1?，a2?a3???am?0满足a1,a2,?,am线性相关,但a1不能由a2,?,am,线性表示.反例2：a1?，a2?若向量b不能由向量组a1,?,am线性表出，则向量组b,a1,?,am线性无关。解：不一定。2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创18/18精品文档反例1：a1?，a2?若零向量只能用唯一的方式表示成向量组a1,?,am的线性组合，则a1,?,am线性无关。解：正确。若只有当?1,?2,?,?m全为0时,等式?1a1????mam??1b1????mbm?0

3、才能成立,则a1,?,am线性无关,b1,?,bm亦线性无关.解：由?1a1????mam??1b1????mbm?0?a1?b1,a2?b2,?,am?bm线性无关，但若取a1?a2???am?0取b1,?,bm为线性无关组满足以上条件,但不能说是a1,a2,?,am线性无关的.若a1,?,am线性相关,b1,?,bm亦线性相关,则有不全为0的数,?1,?2,?,?m使?1a1????mam?0,?1b1????mbm?0同时成立.解：a1?Ta2?Tb1?Tb2?T?1a1??2a2?0??1??2?2??3???1?

4、?2?0与题设矛盾.?1b1??2b2?0??1???2?4?如何证明两向量组等价1.2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创18/18精品文档根据等价的定义证之。例1：向量组与其最大无关组等价。例2：两等价的向量组中分别任取一个最大无关组，证明这两个最大无关组等价。例3：设向量b可由向量组a1,?,ar线性表出，但b不能由向量组a1,?,ar?1线性表出，试证向量组a1,?,ar与向量组a1,?,ar?1，b等价。2.对于具体两向量组，可利用初等变换，证明它们等价。方法：先对进行初等行变换，将I化为等价

5、标准形，看II是否能被I表示；再地进行初等行变换，将II化为标准形，看I是否能被II表示。如何证明向量组相关1．设b1?a1?a2,b2?a2?a3,b3?a3?a4,b4?a4?a1,证明向量组b1,b2,b3,b4线性相关.证明设有x1,x2,x3,x4使得x1b1?x2b2?x3b3?x4b4?0则x1?x2?x3?x4?0a1?a2?a3?a4?0若a1,a2,a3,a4线性相关,则存在不全为零的数k1,k2,k3,k4,k1?x1?x4;k2?x1?x2;k3?x2?x3;k4?x3?x4;2016全新精品资料-

6、全新公文范文-全程指导写作–独家原创18/18精品文档由k1,k2,k3,k4不全为零,知x1,x2,x3,x4不全为零,即b1,b2,b3,b4线性相关.?x1?x4?0?1001??x1???????x1?x2?0?1100??x2?若a1,a2,a3,a4线性无关,则????0????x2?x3?0?0110??x3??0011??x??x?x?0???4?4?310011100由?0知此齐次方程存在非零解01100011则b1,b2,b3,b4线性相关.综合得证.2．设b1?a1,b2?a1?a2,?,br?a1?

7、a2???ar,且向量组a1,a2,?,ar线性无关,证明向量组b1,b2,?,br线性无关.证明设k1b1?k2b2???krbr?0，则a1?a2???ap???krar?0因向量组a1,a2,?,ar线性无关,故?k1?k2???kr?0?k2???kr?0???????????kr?0?1??1?1??1??k1??0????????01?1??k2??0???????????????????0?01?????k?????r??0?01?1因为?1?0故方程组只有零解????0?012016全新精品资料-全新公文范

8、文-全程指导写作–独家原创18/18精品文档则k1?k2???kr?0所以b1,b2,?,br线性无关3．设a1,a2,?,an是一组n维向量,已知n维单位坐标向量e1,e2,?,en能由它们线性表示,证明a1,a2,?,an线性无关.证明n维单位向量e1,e2,?,en线性无关不妨设:e1?k11a1