线性代数 矩阵的对角化

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1、6.2.1相似矩阵和矩阵的对角化问题定义2对对对对对对n阶矩阵A,B,若存在n阶满秩矩阵P,第二节矩阵对角化-1使成立B=PAP则称A与与与与与与B相似或称A相似于B.相似矩阵和矩阵的对角化问题1.由定义可见,矩阵相似关系是一种等价关系.应用示例*(1)反身性A与与与A本身相似.(2)对称性若若若A与与与B相似,则则则B与与与A相似.(3)传递性若若若A与与与B相似,B与与与C相似,则则则A与与与C相似.5*.相相相似相似似似矩矩矩矩阵阵阵或或或都或都都都可逆,,,或,或或或都都都都不不不不可逆可逆...2.相似矩阵有相同的秩.当当当它它它们们们可逆时时时,,,他,他

2、他他们们们的的的逆矩的逆矩阵阵阵也相似似似.3.相似矩阵有相同的行列式式式.证证证:因为相似矩阵的行列式相等,所以它们同时mm可逆或不可逆.4*.若与相若与相AB似似似,似,,,则则则A与B相似似似m似(mmm为为为正正正整正整整整数数数).设设设A~B,且且且A,B都可逆.则存在可逆矩阵P,使使使P---1AP=B.两边求逆得(P-1AP)-1=B-1,-1-1-1-1-1-1-1即有PA(P)=PAP=B,---1---1所以A与与与B相似.6.相似矩阵A与与与与与与B必有相同的特征值,,,,,,这是因为对阶方阵nA,若可找到可逆矩阵P,使det(A-lI)=de

3、t(PBP-1-lPIP-1)-1PAP=LLLL为对角阵这就称为把方阵对角,A化.-1=detP×det(B-lI)det×P=det(B-lI)称可与对角阵相似的矩阵为可对角化矩阵,,,,,,则有即相似矩阵必有相同的特征多项式,,,,,,从而必有相同定理2n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是A的特征值......7.若若若n阶矩阵A与对角阵具有n个线性无关的特征向量.l1-1-1-1-1证明假假假设设设存在可逆阵阵阵P,,,使,使使使PAP=ΛPAP=ΛΛΛ为为为对为对对对角角角阵阵阵,,,lLLLL=2⋱把把把P用其列向量表示为P===(((p

4、1,p2,⋯,pn))).ln相似,则则则lll1,lll2,⋯,llln即是A的的的n个特征值.由PAP-1=L,得AP=PL,可见lllli是是是A的特征值,而而而P的列向量pi就是lll1A的对应于特征值lllli的特征向量.lll2即即即A(((p1,p2,⋯,pn)))===(((p1,p2,⋯,pn)))又由于P可逆,所以p1,p2,⋯,pn线性无关.⋱lll反之由于恰好有个特征值并可对应地,An,求n===(((llllp,llllp,⋯,llllp)

5、)).得个特征向量线性无关这个特征向量即n(),n可1122nn\A(((p,p,⋯,p)))===(((Ap,Ap,⋯,Ap)))构成矩阵P,使AP=PLLL.12n12n又由于p,p,⋯,p线性无关,所以P可逆.===(((llll1p1,llll2p2,⋯,llllnpn)))12n-1-1于是有Api=llllipi(i=1,2,⋯,n).由AP=PL,两边左乘P,得PAP=L.命题得证.例例例例例例3试将矩阵3-1-2故特征方程l(l-)12=0对角化.A=20-2有根l1=,0l2=l3=12-1-1解解解解解解特征多项式为对于ll

6、lllll1=0,(6-1¢¢¢¢¢¢)为为为为为为3-l-1-23-l123-1-2x10k(l)=2-l-2=2l220-2x2=02-1-1x02-1-1-l211+l313-l121-l12可解得对应的特征向量2p=1=2l2=(l-)10l2=-l(l-)11l-10l-10011对于lllllll2=lllllll3=1,(6-1¢¢¢¢¢¢)为为为为为为x111x=t2+t-23-1-1-2x02121x0120-

7、1-2x=0322-1-1-1x03故对不全为零的t,t,上式表出属于lllllll=1的全部特征12即即即即即即2x-x-2x=0向量,,,,,,特别,,,,,,可取对应于特征值lllllll=1的特征向量x2123及及及及及及x3为为为为为为得得得得得得x1=x110x=2x-2x213p=2,p=-223x=x3301或或或或或或并令000这样已求得A的三个线性无关的特征向量Λ=diag(,lll,)=010123110