线性代数—实对称矩阵的对角化.ppt

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1、实对称矩阵的对角化第三节1并非所有方阵都可对角化,但是实对称矩阵必可对角化.为了讨论实对称矩阵的有关性质，需要研究向量内积和正交的概念和性质。2定义两个n维向量向量的内积具有如下基本特性：证略.一、向量的内积,正交和长度3向量长度的性质:由定义可知定义例1证4二、正交向量组和正交矩阵定义显然零向量与任何向量都正交。☎☎n维基本单位向量组是两两正交的。显然有5例2解即得所求向量为6定义若非零向量两两正交，则称之为正交向量组。定理正交向量组必线性无关。证设是正交向量组，7施密特正交化方法证略。8例3解用施密特正交化方法，将下列向量组正交化：9例4解将向量组标准正交化.10再单位化

2、,11例5解它的基础解系为再正交化，12正交矩阵的性质：证定义若n阶矩阵Q满足则称Q为正交矩阵。13Q为正交矩阵的充分必要条件是Q的列向量组是单位正交向量组．证明定理14是单位正交向量组．同理,由可知Q的行向量组是单位正交向量组.15Q为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：(3)Q的行向量是两两正交的单位向量.(4)Q的列向量是两两正交的单位向量.16例6判别下列矩阵是否为正交矩阵．解(1)不是正交矩阵．17(2)所以它是正交矩阵．18练习验证矩阵是正交矩阵.P每个列向量都是单位向量，且两两正交，所以P是正交矩阵。19实对称矩阵的特征值都是实数.三、实对称矩阵的相似对角化定

3、理并非所有方阵都可对角化,但是实对称矩阵必可对角化.证证略.实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交.定理只证两个特征向量的情况.20定理证略.具体计算步骤如下：(1)求出实对称矩阵A的全部特征值；(2)若特征值是单根，则求出一个线性无关的特征向量，并加以单位化；若特征值是重根，则求出重数个线性无关的特征向量，然后用施密特正交化方法化为正交组，再单位化；(3)将这些两两正交的单位特征向量按列拼起来，就得到了正交矩阵P。21例7解设求正交阵P，再单位化,22于是所求正交阵为使23例8解设求正交阵P，特征向量24特征向量25再单位化,拼起来得使26解例9设三阶实对称矩阵A的特

4、征值是1,2,3；属于特征值1,2的特征向量分别为(1)求属于特征值3的特征向量；(2)求矩阵A.矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交,于是有由于实对称即解齐次线性方程组,其系数矩阵为27属于特征值3的特征向量为(2)所以28解例10对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵.(1)第一步求的特征值29解之得基础解系解之得基础解系30解之得基础解系第三步将特征向量正交化第四步将特征向量单位化31323334于是得正交阵3536ENDEND37