四. 实对称矩阵的对角化.ppt

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1、四.实对称矩阵的对角化实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们一定可以对角化。即存在可逆矩阵,使得更可找到正交矩阵，使得定理1：实对称矩阵的特征值为实数.证：设是的任一特征值，（往证）是对应于的特征向量，则设用表示的共轭复数，表示的共轭复向量。则又是实对称矩阵，且由(1)(2)有等号两边同时左乘左边右边即考虑即为实数。定理1的意义：因为对称矩阵的特征值为实数，所以齐次线性方程组又因为，可知该齐次线性方程组一定有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量。是实系数方程组。定理2：实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量正交。是依次与之对应的特征向量。证：设是对称矩阵的两个特征值，且则于是

2、为实对称矩阵，考虑即正交。定理3：为阶实对称矩阵，是的重特征值，即的基础解系所含向量个数为则对应于的特征向量中，线性无关的向量的个数为（则）知道结论即可定理4：(实对称矩阵必可对角化)对于任一阶实对称矩阵，一定存在阶正交矩阵使得其中是以的个特征值为对角元素的对角阵。证：设实对称阵的互不相等的特征值为它们的重数依次为则由定理，特征值（重数为）对应的线性无关的特征向量为个。把它们正交化，再单位化，即得个单位正交的特征向量。所以，可得这样的单位正交向量个。又是实对称阵，上面得到的个单位特征向量两两正交。以它们为列向量构成正交矩阵，有不同特征值对应的特征向量正交，其中的对角元素含有个个

3、个恰是的个特征值。求正交矩阵，把实对称矩阵化为对角阵的方法：1.解特征方程求出对称阵的全部不同的特征值。即求齐次线性方程组的基础解系。3.将属于每个的特征向量先正交化，再单位化。2.对每个特征值，求出对应的特征向量，这样共可得到个两两正交的单位特征向量4.以为列向量构成正交矩阵有即必须注意：对角阵中的顺序要与特征向量的排列顺序一致。例1：设求正交矩阵，使得为对角阵。解：当时，齐次线性方程组为得基础解系令令先正交化：再单位化：令当时，齐次线性方程组为令得基础解系单位化得得正交矩阵有例2：设求正交矩阵，使得为对角阵。解：当时，由即得基础解系只需把单位化，得（考虑为什么？）当时，由即

4、得基础解系只需把单位化，得当时，由即得基础解系只需把单位化，得得正交矩阵有