实对称矩阵的对角化

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1、§5.3实对称矩阵的对角化一、内积的定义及性质二、向量的长度及性质三、正交向量组的概念及求法四、正交矩阵五、对称矩阵的性质六、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法七、小结1定义1内积一、内积的定义及性质2说明1维向量的内积是3维向量数量积的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．3内积的运算性质4定义2令长度范数向量的长度具有下述性质：二、向量的长度及性质单位向量5１正交的概念２正交向量组的概念正交若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．三、正交向量组的概念及求法6证明３正交向量组的性

2、质74规范正交基8例如9同理可知10（1）正交化，取，5求规范正交基的方法11（2）单位化，取12例1用施密特正交化方法，将向量组正交规范化.解先正交化，取施密特正交化过程13再单位化，得规范正交向量组如下14例2解15把基础解系正交化，即合所求．亦即取16为正交矩阵的充要条件是的列向量和行向量都是标准（规范）正交基．证明定义4定理2四、正交矩阵171819定理3对称矩阵的特征值为实数.证明五、对称矩阵的性质说明：以下所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵．20于是有两式相减，得21定理3的

3、意义22证明于是23证明它们的重数依次为根据定理3（对称矩阵的特征值为实数）和定理5(如上)可得：设的互不相等的特征值为24由定理4知对应于不同特征值的特征向量正交，这样的特征向量共可得个.故这个单位特征向量两两正交.以它们为列向量构成正交矩阵，则25根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：六、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.1.26解例3对下列实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵.第一步求的特征值27解之得基础解系解之

4、得基础解系28解之得基础解系第三步将特征向量正交化第四步将特征向量单位化29301．将一组极大无关组规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将极大无关组正交化，然后再将其单位化．七、小结2．为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：313.对称矩阵的性质：(1)特征值为实数；(2)属于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值．4.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：(1)求特征值；(2)找

5、特征向量；(3)将特征向量正交化；(4)最后单位化．32