实对称矩阵的对角化3

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1、§4.3实对称矩阵的对角化一、内积的定义与性质定义：设ｎ维实向量称实数为向量α与β的内积，记作如：性质：（1）对称性：（2）线性性：（3）正定性：当且仅当时推广性质：概念：二、向量的长度与夹角：令为ｎ维向量α的长度（模或范数）.特别：长度为１的向量称为单位向量.注①当时，②由非零向量α得到单位向量是α的单位向量.称为把α单位化或标准化.的过程（1）非负性：（2）齐次性：（3）三角不等式：性质：定理：（Cauchy不等式）任意两个n维实向量恒有等号成立当且仅当线性相关.三、正交向量组及其求法：正交：当，称α与β正交，记作注：①若　　，则α与任何向量都正交.正交组：若向量组中的向量两两正交，

2、且均为非零向量，则这个向量组称为正交向量组，简称正交组.②中的初始单位向量组两两正交。定理：正交向量组必为线性无关组.例1：已知三元向量试求一个非零向量，使得为正交向量组.标准正交组：由单位向量组成的正交组称为标准正交组.施密特（Schmidt）正交化法1）正交化令将一组线性无关的向量组化为标准正交向量组.2）标准化令例2：用施密特正交化方法将如下向量组化为标准正交向量组.练习：设线性无关的向量组，将正交化：四、正交矩阵及其性质：Ａ的列（或行）向量组是标准正交组.定理：方阵A为正交矩阵的充要条件是判断下列矩阵是否为正交矩阵：定理：实对称矩阵的特征值为实数.定理：实对称矩阵的不同特征值对应

3、的特征向量正交.定理：若ｎ阶实对称阵Ａ的　重特征值　对应的线性无关的特征向量恰有　个．(不证)五、实对称矩阵的对角化：推论：实对称矩阵的特征向量是实向量.例3：设实对称矩阵求正交矩阵Q，使Q-1AQ为对角矩阵.（1）（2）例4：设三阶对称矩阵A的特征值为1,2,3;矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别为:（1）A的属于特征值3的特征向量。（2）求矩阵A。作业：P199:15(1)P200:16(1);17(1);22(1)