实对称矩阵的对角化2

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1、C4-4实对称矩阵的对角化1线性代数课件hty定理1对称矩阵的特征值为实数.证明一、对称矩阵的性质说明:本节所提到的对称矩阵,除非特别说明,均指实对称矩阵.2线性代数课件hty于是有两式相减,得3线性代数课件hty定理1的意义4线性代数课件hty证明于是5线性代数课件hty证明它们的重数依次为根据定理1(对称矩阵的特征值为实数)和定理3(如上)可得:设的互不相等的特征值为6线性代数课件hty由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交,这样的特征向量共可得个.故这个单位特征向量两两正交.以它们为列向量构成正交矩阵,则7线性代数课件hty根据上述结论,利用正交

2、矩阵将对称矩阵化为对角矩阵,其具体步骤为:二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化  的方法将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.1.8线性代数课件hty解例对下列各实对称矩阵,分别求出正交矩阵,使为对角阵.(1)第一步求的特征值9线性代数课件hty解之得基础解系解之得基础解系10线性代数课件hty解之得基础解系第三步将特征向量正交化第四步将特征向量单位化11线性代数课件hty12线性代数课件hty13线性代数课件hty14线性代数课件hty于是得正交阵15线性代数课件hty1.对称矩阵的性质:三、小结(1)特征值为实数;(2)属于不同特征值的特征向量

3、正交;(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等;(4)必存在正交矩阵,将其化为对角矩阵,且对角矩阵对角元素即为特征值.2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤:(1)求特征值;(2)找特征向量;(3)将特征向量单位化;(4)最后正交化.16线性代数课件hty思考题17线性代数课件hty思考题解答18线性代数课件hty

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