实对称矩阵的对角化

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1、§5.4实对称矩阵的对角化除第三章第二节介绍的概念和性质之外,共轭矩阵还有以下性质:(7)(8)当A为实对称矩阵时,(9)当且仅当时等号成立.若则若复矩阵A可逆,实对称矩阵是一类很重要的可对角化的矩阵,它的特征值和特征向量具有下列性质:性质1实对称矩阵A的特征值都是实数.证明:设是A的任一特征值,即存在非零向量P使要证是实数,只须证明即可.由得因所以故当特征值为实数时,齐次线性方程组是实系数线性方程组,基础解系,性质2实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量是正交的.知必有实向量由所以对应的特征向量可取实向量.证设是A的两

2、个不同的特征值,分别是属于的特征向量(均为实向量),即有则因此,而故有即正交.性质3设A为n阶实对称矩阵,是A的特征方程的r重根,从而对应特征值恰有r个线行无关的特征向量.证明略.一般n阶矩阵未必能与对角矩阵相似,而实对称矩阵则一定能与对角矩阵相似.的秩则方阵定理6设A为n阶实对称矩阵，则必存在正交矩阵P使得其中为A的n个特征值。证设A的互不相同的特征值为它们的重数依次为根据性质1和性质3知，恰有个线性无关的实特征向量，对应于特征值把它们标准正交化，特征向量组，特征向量共有n个，并有其中为A的n个特征值。个单位正交的就可

3、得到知，由这样的特征值的特征向量是正交的，向量两两正交，以它们为列向量构成正交矩阵P，又由性质2知，A的属于不同故这n个单位特征由定理6可知，实对称矩阵的对角化问题，实质上是求正交矩阵P的问题，计算P的步骤如下：（1）（2）求出齐次线性方程组的基础解系，进行正交化和单位化，得到A对于的一组标准正交的特征向量，的个数恰好是作为A的特征值的重数；求出实对称矩阵A的全部特征值对于各个不同的特征值对基础解系这个向量组所含向量（3）量构成一组的标准正交基（4）则P为正交矩阵且使得为对角阵，对角线上的元素为相应特征向量的特征值。的所

4、有标准正交的特征向将取例13设实对称矩阵求正交阵解得特征值对于由即解得基础解系为单位化得单位特征向量对于由即解得基础解系为因为该基础解系中的两个向量恰好正交，只要单位化即得两个正交的单位特征向量：于是可得正教矩阵使得注意：在此例中对应于特征值若求得方程组的基础解系不正交，则须把它们标准正交化，例如为即取再单位化得取可以验证，仍有此例说明所求正交矩阵不唯一。