4.4 实对称矩阵的对角化

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1、C4-4实对称矩阵的对角化1线性代数课件hty定理1对称矩阵的特征值为实数.证明一、对称矩阵的性质说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵．2线性代数课件hty于是有两式相减，得3线性代数课件hty定理1的意义4线性代数课件hty证明于是5线性代数课件hty证明它们的重数依次为根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定理3(如上)可得：设的互不相等的特征值为6线性代数课件hty由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交，这样的特征向量共可得个.故这个单位特征向量两两正交.以它们为列向量构成正交矩阵，则7线性代数课件hty根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵

2、化为对角矩阵，其具体步骤为：二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化　　的方法将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.1.8线性代数课件hty解例对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵.(1)第一步求的特征值9线性代数课件hty解之得基础解系解之得基础解系10线性代数课件hty解之得基础解系第三步将特征向量正交化第四步将特征向量单位化11线性代数课件hty12线性代数课件hty13线性代数课件hty14线性代数课件hty于是得正交阵15线性代数课件hty1.对称矩阵的性质：三、小结(1)特征值为实数；(2)属于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重数和与

3、之对应的线性无关的特征向量的个数相等；(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值．2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量单位化；(4)最后正交化．16线性代数课件hty思考题17线性代数课件hty思考题解答18线性代数课件hty