167;4.3实对称矩阵的对角化.ppt

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1、定理1实对称矩阵的特征值都是实数.一、实对称矩阵的性质§4.3实对称矩阵的对角化证明于是有及相减定理1的意义当特征值i为实数时齐次线性方程组(AiI)x0是实系数方程组由

2、AiI

3、0知必有实的基础解系所以对应的特征向量可以取实向量证明设A为实对称矩阵,Ap11p1Ap22p212一方面于是(12)p1Tp20但12即p1与p2正交故p1Tp20定理2：实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征向量正交.另一方面推论设A为n阶实对称阵是A的特征方程的k重根则

4、对应特征值恰有k个线性无关的特征向量二、实对称矩阵的对角化求正交矩阵，把实对称矩阵化为对角阵的方法：1.解特征方程求出对称阵的全部不同的特征值。即求齐次线性方程组的基础解系。3.将属于每个的特征向量先正交化，再单位化。2.对每个特征值，求出对应的特征向量，这样共可得到个两两正交的单位特征向量4.以为列向量构成正交矩阵有即注意：对角阵中的顺序要与特征向量的排列顺序一致。例1设求正交矩阵，使得为对角阵。解当时，由即得基础解系只需把单位化，得（考虑为什么？）当时，由即得基础解系只需把单位化，得当时，由即得基础解系只需把单位

5、化，得得正交矩阵有例2设解求正交矩阵，使得为对角阵。当时，齐次线性方程组为得基础解系令令先正交化：再单位化：令当时，齐次线性方程组为令得基础解系单位化得得正交矩阵有实对称矩阵对角化的步骤(1)求出A的全部互不相等的特征值12s它们的重数依次为k1k2ks(k1k2ksn)(2)对每个ki重特征值i求方程(AE)x0的基础解系得ki个线性无关的特征向量再把它们正交化、单位化得ki个两两正交的单位特征向量因k1k2ksn故总共可得n个两两正交

6、的单位特征向量(3)把这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵U便有U1AUUTAU注意中对角元的排列次序应与P中列向量的排列次序相对应