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1、§4对称矩阵的对角化1定理：设l1,l2,…,lm是方阵A的特征值，p1,p2,…,pm依次是与之对应的特征向量，如果l1,l2,…,lm各不相同，则p1,p2,…,pm线性无关．（P.120定理2）2可逆矩阵P，满足P−1AP=L（对角阵）AP=PLApi=lipi(i=1,2,…,n)A的特征值对应的特征向量其中?(A−liE)pi=0矩阵P的列向量组线性无关3定理：设l1,l2,…,lm是方阵A的特征值，p1,p2,…,pm依次是与之对应的特征向量，如果l1,l2,…,lm各不相同，则p1,p2,…,pm线性无关．（P
2、.120定理2）定理：n阶矩阵A和对角阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量．（P.123定理4）推论：如果A有n个不同的特征值，则A和对角阵相似．说明：当A的特征方程有重根时，就不一定有n个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化．（P.118例6）4定理：设l1,l2,…,lm是方阵A的特征值，p1,p2,…,pm依次是与之对应的特征向量，如果l1,l2,…,lm各不相同，则p1,p2,…,pm线性无关．（P.120定理2）定理：设l1和l2是对称阵A的特征值，p1,p2是对应的特征向量，如果l1
3、≠l2，则p1,p2正交．（P.124定理6）证明：Ap1=l1p1，Ap2=l2p2，l1≠l2l1p1T=(l1p1)T=(Ap1)T=p1TAT=p1TA（A是对称阵）l1p1Tp2=p1TAp2=p1T(l2p2)=l2p1Tp2(l1−l2)p1Tp2=0因为l1≠l2，则p1Tp2=0，即p1,p2正交．5定理：设A为n阶对称阵，则必有正交阵P，使得P−1AP=PTAP=L，其中L是以A的n个特征值为对角元的对角阵（不唯一）.（P.124定理7）定理：n阶矩阵A和对角阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是A有n个
4、线性无关的特征向量．（P.123定理4）推论：如果A有n个不同的特征值，则A和对角阵相似．说明：当A的特征方程有重根时，就不一定有n个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化．6定理：n阶矩阵A和对角阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量．（P.123定理4）推论：如果A有n个不同的特征值，则A和对角阵相似．说明：当A的特征方程有重根时，就不一定有n个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化．推论：设A为n阶对称阵，l是A的特征方程的k重根，则矩阵A−lE的秩等于n−k，恰有k个线性无关的特征向量与特征
5、值l对应．7例：设，求正交阵P，使P−1AP=L对角阵.解：因为A是对称阵，所以A可以对角化．求得A的特征值l1=−2，l2=l3=1．8当l1=−2时，解方程组(A+2E)x=0．，得基础解系．当l2=l3=1时，解方程组(A−E)x=0．，得．令，则.问题：这样的解法对吗？9当l1=−2时，对应的特征向量为；当l2=l3=1时，对应的特征向量为.显然，必有x1⊥x2，x1⊥x3，但x2⊥x3未必成立．于是把x2,x3正交化：此时x1⊥h2，x1⊥h3，h2⊥h3．10单位化：当l1=−2时，对应的特征向量为；当l2=l3
6、=1时，对应的特征向量为.11当l1=−2时，对应的特征向量为；当l2=l3=1时，对应的特征向量为于是p1,p2,p3构成正交阵从而．12把对称阵A对角化的步骤为：求出A的所有各不相同的特征值l1,l2,…,ls，它们的重数依次为k1,k2,…,ks（k1+k2+…+ks=n）．对每个ki重特征值li，求方程组
7、A−liE
8、=0的基础解系，得ki个线性无关的特征向量．把这ki个线性无关的特征向量正交化、单位化，得到ki个两两正交的单位特征向量．因为k1+k2+…+ks=n，总共可得n个两两正交的单位特征向量．这n个两两正交
9、的单位特征向量构成正交阵P，便有P−1AP=L．L中对角元的排列次序应于中列向量的排列次序相对应.13例：设，求An.分析：数学归纳法14定理：若n阶矩阵A和B相似，则A和B的特征多项式相同,从而A和B的特征值也相同．推论：若n阶矩阵A和B相似，则A的多项式j(A)和B的多项式j(B)相似．若n阶矩阵A和n阶对角阵L=diag(l1,l2,…,ln)相似，则从而通过计算j(L)可方便地计算j(A).若j(l)=
10、A−lE
11、，那么j(A)=O（零矩阵）.15例：设，求An.分析：数学归纳法因为A是对称阵，所以A可以对角化．求得
12、A的特征值l1=1，l2=3．下面求满足P−1AP=Λ的可逆矩阵P．16下面求满足P−1AP=Λ的可逆矩阵P．当l1=1时，解方程组(A−E)x=0．，得基础解系．当l2=3时，解方程组(A−3E)x=0．，得基础解系．问题：是否需要单位化？于是Ap1=p1，Ap2=3p2，即．若，则．1
