§4 对称矩阵的对角化 (2).ppt

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时间:2020-07-28

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1、§5二次型及其标准形对应投影变换例2阶方阵对应以原点为中心逆时针旋转j角的旋转变换例2阶方阵解析几何中,二次曲线的一般形式ax2+bxy+cy2=0通过选择适当的的旋转变换使得mx'2+ny'2=0.定义:含有n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次函数称为二次型.令aij=aji,则2aijxixj=aijxixj+ajixixj,于是对称阵对称阵A的秩也叫做二次型f的秩.线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.对称阵的二次型二次型的矩阵对于二次型,寻找可逆的线性变换使二次型只含平方项,即f=k1y12+

2、k2y22+…+knyn2定义:只含平方项的二次型称为二次型的标准形(或法式).如果标准形的系数k1,k2,…,kn只在−1,0,1三个数中取值,即f=k1y12+…+kpyp2−kp+1yp+12−…−kryr2则上式称为二次型的规范形.说明:这里只讨论实二次型,所求线性变换也限于实数范围.简记为x=Cy,于是f=xTAx=(Cy)TA(Cy)=yT(CTAC)y定义:设A,B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P满足P−1AP=B,则称矩阵A和B相似.(P.121定义7)定义:设A,B都是n阶矩阵,若有可逆矩

3、阵C满足CTAC=B,则称矩阵A和B合同.(P.129定义9)显然,BT=(CTAC)T=CTAT(CT)T=CTAC=B即若A为对称阵,则B也为对称阵.R(B)=R(A).经过可逆变换后,二次型f的矩阵由A变为与A合同的矩阵CTAC,且二次型的秩不变.若二次型f经过可逆变换x=Cy变为标准形,即问题:对于对称阵A,寻找可逆矩阵C,使CTAC为对角阵,(把对称阵合同对角化).定义:如果n阶矩阵A满足ATA=E,即A−1=AT,则称矩阵A为正交矩阵,简称正交阵.定理:设A为n阶对称阵,则必有正交阵P,使得

4、P−1AP=PTAP=L,其中L是以A的n个特征值为对角元的对角阵(不唯一).(P.124定理7)定理:任给二次型f(x)=xTAx(其中A=AT),总存在正交变换x=Py,使f化为标准形f(Py)=l1y12+l2y22+…+lnyn2其中l1,l2,…,ln是f的矩阵A的特征值.推论:任给二次型f(x)=xTAx(其中A=AT),总存在可逆变换x=Cz,使f(Cz)为规范形.推论:任给二次型f(x)=xTAx(其中A=AT),总存在可逆变换x=Cz,使f(Cz)为规范形.证明:f(Py)=l1y12

5、+l2y22+…+lnyn2若R(A)=r,不妨设l1,l2,…,lr不等于零,lr+1=…=ln=0,令则K可逆,变换y=Kz把f(Py)化为f(PKz)=(PKz)TA(PKz)=zTKTPTAPKz=zTKTΛKz其中例:求一个正交变换x=Py,把二次型f=-2x1x2+2x1x3+2x2x3化为标准形.解:二次型的矩阵根据P.125例12的结果,有正交阵使得于是正交变换x=Py把二次型化为标准形f=-2y12+y22+y32如果要把f化为规范形,令,即可得f的规范形:f=-z12+z22+z32

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