§4 对称矩阵的对角化 (2).ppt

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1、§5二次型及其标准形对应投影变换例2阶方阵对应以原点为中心逆时针旋转j角的旋转变换例2阶方阵解析几何中，二次曲线的一般形式ax2+bxy+cy2=0通过选择适当的的旋转变换使得mx'2+ny'2=0．定义：含有n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次函数称为二次型．令aij=aji，则2aijxixj=aijxixj+ajixixj，于是对称阵对称阵A的秩也叫做二次型f的秩．线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.对称阵的二次型二次型的矩阵对于二次型，寻找可逆的线性变换使二次型只含平方项，即f=k1y12+

2、k2y22+…+knyn2定义：只含平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）.如果标准形的系数k1,k2,…,kn只在−1,0,1三个数中取值,即f=k1y12+…+kpyp2−kp+1yp+12−…−kryr2则上式称为二次型的规范形．说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围.简记为x=Cy，于是f=xTAx=(Cy)TA(Cy)=yT(CTAC)y定义：设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P满足P−1AP=B，则称矩阵A和B相似．（P.121定义7）定义：设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩

3、阵C满足CTAC=B，则称矩阵A和B合同．（P.129定义9）显然，BT=(CTAC)T=CTAT(CT)T=CTAC=B即若A为对称阵，则B也为对称阵．R(B)=R(A)．经过可逆变换后，二次型f的矩阵由A变为与A合同的矩阵CTAC，且二次型的秩不变．若二次型f经过可逆变换x=Cy变为标准形，即问题：对于对称阵A，寻找可逆矩阵C，使CTAC为对角阵,（把对称阵合同对角化）．定义：如果n阶矩阵A满足ATA=E，即A−1=AT，则称矩阵A为正交矩阵，简称正交阵．定理：设A为n阶对称阵，则必有正交阵P，使得

4、P−1AP=PTAP=L，其中L是以A的n个特征值为对角元的对角阵（不唯一）.（P.124定理7）定理：任给二次型f(x)=xTAx（其中A=AT），总存在正交变换x=Py，使f化为标准形f(Py)=l1y12+l2y22+…+lnyn2其中l1,l2,…,ln是f的矩阵A的特征值．推论：任给二次型f(x)=xTAx（其中A=AT），总存在可逆变换x=Cz，使f(Cz)为规范形．推论：任给二次型f(x)=xTAx（其中A=AT），总存在可逆变换x=Cz，使f(Cz)为规范形．证明：f(Py)=l1y12

5、+l2y22+…+lnyn2若R(A)=r，不妨设l1,l2,…,lr不等于零，lr+1=…=ln=0,令则K可逆，变换y=Kz把f(Py)化为f(PKz)=(PKz)TA(PKz)=zTKTPTAPKz=zTKTΛKz其中例：求一个正交变换x=Py，把二次型f=－2x1x2+2x1x3+2x2x3化为标准形．解：二次型的矩阵根据P.125例12的结果，有正交阵使得于是正交变换x=Py把二次型化为标准形f=－2y12+y22+y32如果要把f化为规范形，令，即可得f的规范形：f=－z12+z22+z32