§4.3实对称矩阵的对角化

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1、§4.3实对称矩阵的对角化一、实对称矩阵的性质定理1实对称矩阵的特征值都是实数.证明设复数为实对称矩阵A的特征值,复向量x为对应的特征向量,即Axx,x0.用表示的共轭复数,x表示x的共轭复向量,则AxAxAxxx.于是有及相减定理1的意义当特征值为实数时齐次线性方程组i(AI)x0i是实系数方程组由

2、AI

3、0知必有实的基础解系所以对i应的特征向量可以取实向量.定理2：实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征向量正交.证明设A为实对称矩阵,AppApp.111222

4、12一方面另一方面于是()12pTp0.但1故2pTp0即p与p正交.121212推论设A为n阶实对称阵是A的特征方程的k重根则对应特征值恰有k个线性无关的特征向量.二、实对称矩阵的对角化求正交矩阵U，把实对称矩阵A化为对角阵的方法：1.解特征方程AI0求出对称阵A的全部不同的特征值。2.对每个特征值，求出对应的特征向量，i即求齐次线性方程组(AI)x0的基础解系。i3.将属于每个的特征向量先正交化，再单位化。i这样共可得到n个两两正交的单位特征向量,,,12n4.以1,2,

5、,n为列向量构成正交矩阵U(,,,)12n1有UAU111即UAUmm注意：对角阵中,,,的顺序12n要与特征向量,,,的排列顺序一致。12n220例1设A212,求正交矩阵U，1020使得UAU为对角阵。220解AI2120241204,1,2.123当4时，由A4Ix0,1220102012

6、A4I2320240002x12x3即得基础解系12.x2x23123只需把1单位化，得23,1（考虑为什么？）13当1时，由AIx0,2120120AI2020210210002x12x2即得基础解系21.x32x2223只需把2单位化，得213,23当2时，由A2Ix0,24

7、20201A2I2322100220001x32x1即得基础解系32.x22x1213只需把3单位化，得323.232211得正交矩阵U1,2,3212,31224001有UAU010.002324求正交矩阵U，例2设A202,1使得UAU为对角阵。423324解AI224232180

8、1,8.123当1时，齐次线性方程组为AIx012424212AI212000424000x110x2x2x令,213x30110得基础解系12,22.011先正交化：令112,04501(2,1)422222(,)15511101

9、再单位化：令14455351125222,155235535001535当8时，齐次线性方程组为A8Ix035241011A8I2820124250001x1x311令x1得基础解系3,xx322321213211单位化得3

10、,323123得正交矩阵1425353221U(1,2,3)535352035311有UAU18实对称矩阵对角化的步骤(1)求出A