最新线性代数—实对称矩阵的对角化课件ppt.ppt

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1、线性代数—实对称矩阵的对角化并非所有方阵都可对角化,但是实对称矩阵必可对角化.为了讨论实对称矩阵的有关性质，需要研究向量内积和正交的概念和性质。2定义两个n维向量向量的内积具有如下基本特性：证略.一、向量的内积,正交和长度3定义若非零向量两两正交，则称之为正交向量组。定理正交向量组必线性无关。证设是正交向量组，7施密特正交化方法证略。8例3解用施密特正交化方法，将下列向量组正交化：9例4解将向量组标准正交化.10再单位化,11例5解它的基础解系为再正交化，12正交矩阵的性质：证定义若n阶矩阵Q满足则称Q为正交矩阵。13Q为正交矩阵的充分必要

2、条件是Q的列向量组是单位正交向量组．证明定理14是单位正交向量组．同理,由可知Q的行向量组是单位正交向量组.15Q为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：(3)Q的行向量是两两正交的单位向量.(4)Q的列向量是两两正交的单位向量.16例6判别下列矩阵是否为正交矩阵．解(1)不是正交矩阵．17(2)所以它是正交矩阵．18练习验证矩阵是正交矩阵.P每个列向量都是单位向量，且两两正交，所以P是正交矩阵。19实对称矩阵的特征值都是实数.三、实对称矩阵的相似对角化定理并非所有方阵都可对角化,但是实对称矩阵必可对角化.证证略.实对称矩阵的属于不同特征值

3、的特征向量彼此正交.定理只证两个特征向量的情况.20定理证略.具体计算步骤如下：(1)求出实对称矩阵A的全部特征值；(2)若特征值是单根，则求出一个线性无关的特征向量，并加以单位化；若特征值是重根，则求出重数个线性无关的特征向量，然后用施密特正交化方法化为正交组，再单位化；(3)将这些两两正交的单位特征向量按列拼起来，就得到了正交矩阵P。21例7解设求正交阵P，再单位化,22于是所求正交阵为使23例8解设求正交阵P，特征向量24特征向量25再单位化,拼起来得使26解例9设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3；属于特征值1,2的特征向量分别为

4、(1)求属于特征值3的特征向量；(2)求矩阵A.矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交,于是有由于实对称即解齐次线性方程组,其系数矩阵为27属于特征值3的特征向量为(2)所以28解例10对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵.(1)第一步求的特征值29解之得基础解系解之得基础解系30解之得基础解系第三步将特征向量正交化第四步将特征向量单位化31323334于是得正交阵3536ENDEND37中国古代哲学（下）一、中国哲学的宇宙观。二、中国哲学的天人关系。三、人生境界。四、中国传统思维方式五、中国传统知行观。主要内容一、中国哲学的宇

5、宙观“四方上下曰宇，古往今来曰宙。”——《淮南子·原道》。中国哲学的宇宙观是生生不已、大化流行的宇宙观。也就是要掌握一个“变”字。1、宇宙怎么样？2、宇宙有没有常道？3、天行健，君子以自强不息。1、回答宇宙怎么样？A、最早论述宇宙的哲学家,追溯到老子：“道冲,而用之或不盈。渊兮,似万物之宗.……湛兮，似或存。吾不知谁之子，象帝之先。”老子认为世界有一个从混沌到清晰的过程，是一个变化流动的过程。B、孔子：“天何言哉？四时行焉，百物生焉。天何言哉？”《论语·阳货》认识到宇宙是一个动态的过程。“行”、“生”都体现了这个特点。C、荀子“列星随旋，日

6、月递照，阴阳大化，风雨博施。”（《荀子·天论》）整个中国哲学史，都肯定变易是这个世界最根本的事实，一切事物都在变易之中，宇宙是一个变易不息的大流。对宇宙的变易这个特性是没有争议的，但是在两个问题上是有分歧的：（1）宇宙在时间上是否有限？（2）宇宙在空间上是否有限？（1）动态的宇宙，在时间上具有无限性？老子认为时间是有限的，天下有始，结尾是无限的；庄子打破老子的“天下有始”的观念，他认为宇宙在时间上是无限的，开端无限，未来也是无限的。（2）宇宙在空间上是否有限？原始认为宇宙在空间上是有限的：汉代蓋天说：“天圆如张蓋，地方如棋局。”（《晋书·天

7、文志》）张衡提出浑天说：“浑天如鸡子。天体圆如弹丸﹐地如鸡子中黄﹐孤居于天内﹐天大而地小。天表里有水﹐天之包地﹐犹壳之裹黄。天地各乘气而立﹐载水而浮。”（《张衡浑仪注》）到东汉，宇宙空间有限的观点被逐渐打破了：东汉出现了“宣夜说”：“天了无质，仰而瞻之，高远无极，眼瞀精绝，故苍苍然也。”（《晋书·天文志》）元·邓牧：“天地大也，其在虚空中不过一粟耳。虚空，木也，天地犹果也。”（《伯牙琴·超然观记》）2、宇宙有没有常道？最早认为世界有常的，是老子。“夫物芸芸，各复其根。归根曰静，静曰复命。复命曰常。知常曰明，不知常，妄作，凶。”儒家也肯定常，

8、“动静有常，刚柔断矣。”（《周易传》）荀子“天行有常，不为尧存，不为桀亡。”(《荀子·天论》)佛教提出一个对立思想：诸行无常，诸法无我，佛教认为世界不是真实的。宋明理学认为：世界