线性代数 4-3实对称矩阵的相似对角化课件.ppt

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1、4.3实对称矩阵的相似对角化一实对称矩阵特征值与特征向量的性质实对称矩阵相似对角化三矩阵的合同一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。(1)两端取转置，得：性质1的意义（重根按重数计算）注意：一般n阶实矩阵的特征值虽然一定有n个(重根按重数计算)，但不一定都是实数。例：性质2：实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向量必定正交。证明于是性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无关的特征向量恰有k个。由此推出：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。对于一般矩阵，只能保证相异特征值所对应的特征向量线性无关，但不一定是正交的；实对称矩

2、阵相异特征值所对应的特征向量不仅线性无关，而且彼此正交。性质3也可叙述为：二、实对称矩阵的相似对角化：定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。定理2：实对称矩阵A一定与对角矩阵正交相似。证明它们的重数依次为根据性质1（实对称矩阵的特征值为实数）和性质3(实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无关的特征向量恰有k个)可得：设的互不相等的特征值为由性质2知对应于不同特征值的特征向量正交，这样的特征向量共可得个.故这个单位特征向量两两正交.以它们为列向量构成正交矩阵，则这个定理说明了使实对称矩阵A化为对角阵的正交矩阵P的存在性，下面讨论这个矩阵P怎么求？的线性无关

3、的特征向量为：再单位化，得：用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤：即：必须注意：对角阵中的顺序要与特征向量的排列顺序一致。解例对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵.(1)第一步求的特征值解之得基础解系解之得基础解系解之得基础解系第三步将特征向量正交化第四步将特征向量单位化于是得正交阵本题中，A,B都为实对称矩阵这个条件很重要，对一般矩阵A,B，当它们有相同特征值时，A与B未必相似。本题说明：n阶矩阵A为实对称矩阵的充要条件是A有n个实特征值与n个正交单位特征向量。三、矩阵的合同~注：1、合同关系满足自反性，对称性和传递性，因此是一种等价关系。

4、2、合同矩阵具有相同的秩3、矩阵之间的合同与相似关系是两种不同的关系。例A,B特征值不同，故合同但不相似。等价、相似、合同的关系：~但反之均不成立。一般而言，相似与合同没有关系。但，正交相似与合同一致。定理3：实对称矩阵一定与对角阵合同。也就是：两个相似的实对称矩阵是合同的。因为实对称矩阵A,B相似，其特征值相同，所以存在正交矩阵T使得1.实对称矩阵的性质：三、小结(1)特征值为实数；(2)属于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值．2.　利

5、用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量单位化；(4)最后正交化．3.理解合同矩阵的定义思考题思考题解答