实对称矩阵的正交相似对角化.ppt

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1、主要内容实对称矩阵的性质实对称矩阵相似对角化的步骤5.3实对称矩阵的正交相似对角化举例而有的就不能找到n个线性无关的特征向量.上一节我们讨论了矩阵能对角化的充要条件:n阶方阵A能对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.通过前面的学习我们知道,有的n阶方阵能找到n个线性无关的特征向量,一、问题的提出因此，并不是所有的矩阵一定可对角化.然而实对称矩阵是必可对角化的一类矩阵，而且一定能找到一个正交矩阵Q，使Q-1AQ=.性质1对称矩阵的特征值为实数.二、实对称矩阵的性质正交.性质2设1,2是对称矩阵A的两个特征值p1,

2、p2是对应的特征向量,若12,则p1,p2定理设A为n阶对称矩阵,则必有正交矩阵Q，使Q-1AQ=,其中是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵.性质3设A为n阶对称矩阵,是A的特征方程的k重根,则方程组(A-E)x=0有k个基础解系，即矩阵A-E的秩R(A-E)=n-k.n1+n2+···+ns=n.步骤1：求出矩阵A的所有特征值，设A有s个不同的特征值1,2,···,s，它们的重数分别为n1,n2,···,ns,三、对称矩阵对角化的步骤步骤2:对A的每个特征值i,求(A-iE)x=0的基础解系,

3、设为(i=1,2,···,s).以这些向量为列构并把它们正交化、单位化，记为造正交矩阵Q，即且Q-1AQ=其中(A的特征值)之间的对应关系.要注意矩阵Q的列与对角矩阵主对角线上的元素例1设求正交矩阵Q,使Q-1AQ为对角矩阵.四、举例第一步求A的特征值解之得基础解系将1,2正交化：令将1,2单位化得：第三步将特征向量正交化第四步再单位化求得基础解系将3单位化得则有第五步构造正交矩阵Q，并写出对角阵解例2求出正交矩阵，使为对角阵.解之得基础解系解之得基础解系解之得基础解系例3设2阶实对称矩阵A的特征值为1,2,

4、且特征值1对应的一个特征向量为（1）求特征值2对应的特征向量（2）求矩阵A例4求一个三阶实对称矩阵A,它的特征且特征值6对应的一个特征向量为值为6,3,3,