相似矩阵对称矩阵的对角化ppt课件.ppt

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1、第三节相似矩阵一、相似矩阵与相似变换的概念1.等价关系二、相似矩阵与相似变换的性质Q1BQ=CQ1(P1AP)Q=(PQ)1A(PQ)=P1AP=BQ1BQ=C6.A~B

2、A

3、=

4、B

5、，Am~Bm.7.P1AP=BA与B等价,R(A)=R(B).8.可逆矩阵A~BA1~B1.P1AP=BP1A1P=B1(P1AP)1=B1第五章特征值与特征向量二.矩阵相似的必要条件性质.P1AP=B=

6、IB

7、

8、P

9、1

10、IA

11、

12、P

13、=

14、P1

15、

16、IA

17、

18、P

19、=

20、P1(IA)P

21、=

22、(

23、P1IP1A)P

24、=

25、P1IPP1AP

26、=

27、P1PB

28、

29、IA

30、=

31、IB

32、.5§5.2矩阵的相似和对角化第五章特征值与特征向量二.矩阵相似的必要条件性质.P1AP=B

33、IA

34、=

35、IB

36、.1+2+…+n12…n(1)(2)…(n)=tr(A)==tr(B)

37、A

38、==

39、B

40、6§5.2矩阵的相似和对角化第五章特征值与特征向量二.矩阵相似的必要条件性质.P1AP=B

41、IA

42、=

43、IB

44、.推论.A~BA与B有相同的特征值tr(A)=tr(B),

45、A

46、=

47、B

48、.

49、B

50、

51、=

52、P1AP

53、=

54、P1

55、

56、A

57、

58、P

59、=

60、P

61、1

62、A

63、

64、P

65、=

66、A

67、.7§5.2矩阵的相似和对角化例1.01x3~250y0+3=2+yx=2yx=2,y=1.第五章特征值与特征向量注意:特征多项式相同的矩阵未必相似.例如A=1011,B=1001,假若P–1AP=B,则A=PBP–1=B.矛盾!

68、IA

69、=

70、IB

71、==(1)2.1101=(1)2.10018§5.2矩阵的相似和对角化推论若阶方阵A与对角阵第五章特征值与特征向量三.相似对角化问题我们的目的是讨论一个n阶矩阵相似的问题，

72、希望相似的矩阵有最简单的形式——对角矩阵，即是n阶矩阵相似于一个对角矩阵的问题。n阶矩阵A若能相似于一个对角阵,称A可以对角化。定义5.2.210§5.2矩阵的相似和对角化问题：是否任意一个矩阵A都能对角化？三、利用相似变换将方阵对角化第五章特征值与特征向量证明§5.2矩阵的相似和对角化第五章矩阵的特征值、特征向量和相似§5.2矩阵的相似和对角化命题得证.13说明如果阶矩阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似．推论如果A的特征方程有重根，此时不一定有n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化，但如果能找到n个线性无关的特征向量，A还是

73、能对角化．例1判断下列实矩阵能否化为对角阵？解解之得基础解系求得基础解系解之得基础解系故不能化为对角矩阵.矩阵对角化的步骤：A能否对角化？若能对角例2解解之得基础解系所以可对角化.注意即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．四、小结１．相似矩阵相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：２．相似变换与相似变换矩阵这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算．相似变换是

74、对方阵进行的一种运算，它把A变成　　　，而可逆矩阵称为进行这一变换的相似变换矩阵．第四节对称矩阵的对角化一、对称矩阵的性质说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵．(AT=A)定理1对称矩阵的特征值为实数.定理1的意义证明于是根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化　　的方法将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.1.解例对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵.(1)第一步求的特征值解之得基础解系解之得基础解系解之得基础解系第三步将特征向量正交化第四

75、步将特征向量单位化如何判断?于是得正交阵解第一步　求A的特征值．由1.对称矩阵的性质：三、小结(1)特征值为实数；(2)属于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值．2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量单位化；(4)最后正交化．作业P138—16,17,18