相似矩阵矩阵可对角化的条件.ppt

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1、§2矩阵可对角化的条件一、相似矩阵及其性质二、矩阵可对角化的条件1一、相似矩阵及其性质定义3.3设A,B均为n阶方阵,若可逆矩阵P,使得P1AP=B,(3.8)则称A与B相似,记作AB.性质3.1基本性质1)反身性;定理3.5若AB,则

2、A

3、=

4、B

5、;2)R(A)=R(B);3)A1B1,A,B均可逆.2)对称性;3)传递性.2§2相似矩阵可对角化的条件若推论3.2定理3.6若AB,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值亦相同.证明AB可逆阵P,使得P1AP=B,则l1,l2,…,ln是A的n个特征值.推论3.3若A

6、B,则AmBm,mZ.3§2相似矩阵可对角化的条件定理3.7A与对角矩阵相似A有n个线性无关的特征向量.证明“”设可逆阵P,使P1AP=L为对角阵.将P按列分块:P=(p1,p2,…,pn),因而有于是有Api=lipi,i=1,2,…,n.二、矩阵可对角化的条件4§2相似矩阵可对角化的条件“”设p1,p2,…,pn为A的n个线性无关的特征向量,则有Api=lipi,i=1,2,…,n.即即AP=PL.又P可逆,则有P1AP=L为对角阵.5§2相似矩阵可对角化的条件推论3.4若An的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似．注1A可

7、对角化,但A未必有n个相异的特征值,如aE可对角化,但其只有一个n重特征值.注2若A的特征方程有重根,此时不一定有n个线性无关的特征向量,从而A不一定可对角化,但若能找到n个线性无关的特征向量,则A仍可对角化.定理3.8设li为An的ni重特征值,i=1,2,…,m,n1+n2+…+nm=n,则AnL(对角矩阵)R(liEA)=nni.证明“”AnL可逆阵P使P1AP=L,6§2相似矩阵可对角化的条件即即pij,i=1,…,m,j=1,…,ni是方程组的解.7§2相似矩阵可对角化的条件则“”的基础解系有ni个线性无关的向量矛盾

8、因AL,由定理3.7知A有n个线性无关的特征向量,若8§2相似矩阵可对角化的条件A能否对角化?若能对角化,则求出可逆矩阵P,使P1AP为对角阵.例3.3设解故A的全部特征值为l1=l2=1,l3=2,9§2相似矩阵可对角化的条件将l1=l2=1代入方程组(lEA)x=0,解之得基础解系x1=(2,1,0)T,x2=(0,0,1)T.将l3=2代入方程组(lEA)x=0,其基础解系为x3=(01,1,1)T.由于x1,x2,x3线性无关,则A可对角化.令故注若令即P的列向量和对角矩阵中特征值的位置要对应.10§2相似矩阵可对角化的条

9、件例3.4x,y为何值时,解与对角矩阵相似?则l1=1,l2=l3=1.x+y=0.由定理4.8知,(l2EA)x=0的基础解系中有2个向量,因而R(l2EA)=1.则有11§2相似矩阵可对角化的条件