线性代数3.2相似矩阵与矩阵可对角化的条件.ppt

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1、如果存在一个阶可逆矩阵，本节研究这样的问题。§3.2相似矩阵与矩阵对角化的条件对角矩阵是矩阵中最简单的一种.给定矩阵能否转化为对角矩阵并保持原有性质？一、相似矩阵及其性质定义3.3设为两个阶矩阵,使得（3.2.1）则称与相似，记作.例如定义3.3设A,B是n阶矩阵,例如一、相似矩阵及其性质如果存在n阶可逆矩阵P,成立,则称矩阵A与B相似,使得记为则。设，例1使得对解：存在可逆矩阵，所以。可以有附注1：对于可逆矩阵，于是。是对角矩阵？。附注2：1）与矩阵A相似的矩阵不是唯一的，也不都全是对角矩阵；2）可以构造许

2、多矩阵与A相似，哪些可以得到和传递性.如果，即相似是矩阵间的一种重要关系，是等价关系,即相似矩阵具有反身性、对称性反身性；那么；对称性那么。传递性如果，，（3）（1）（2）由事实上，由得到；得到；得到。由若,还有许多性质：附注3：除上述等价性质外，则.推论1（反之未必！！）推论2若,则，即相似的矩阵有相同的秩.有。推论3若,则具有相同的可逆性，可逆时具有相同的特征值。定理3.7设，则矩阵具有相同的特征多项式，证明：这表明矩阵具有相同的特征多项式，从而具有相同的特征值。设,,其中为正整数。定理3.8设，则,有证

3、明：对任意为正整数，所以3）.推论4则1）;2）;条件是就称可以对角化.为阶矩阵,若可以相似于一个对角阵,二、矩阵可对角化的条件可以证明下面矩阵可对角化的充分必要条件。定义设对角阵称为的相似标准形矩阵。例如例1中矩阵是有相似标准形的，并非所有矩阵都有相似标准形存在。但以后将会看到事实上，个线性无关的特征向量.证明：略.定理3.9阶矩阵相似于阶对角阵的充分必要有可以对角化.推论阶矩阵如果有个不同的特征值,则可以对角化.即如果的特征多项式无重根,则证明：略.定理3.10设是的所有不同的特征值,而的属于特征值的线性

4、无关的特征向量的个数为(),则可以对角化的充要条件是.可以对角化的充要条件是注1)设是的所有不同的特征值,则是唯一确定的.注2）设可以对角化,则主对角线上的元素就是所有的特征值(重根按重数计算),它除了主对角线上元素的排列顺序外三、矩阵可对角化范例例2对上节例4，，，特征值（二重），属于的线性无关特征向量为，属于8的特征向量为根据定理4.1知该矩阵可以对角化。，取。则根据定理4.1知该矩阵不可对角化。例3对上节例5，特征值（二重）属于1的线性无关特征向量为属于2的特征向量为应满足的条件。例4设矩阵可相似于一个

5、对角矩阵，试讨论解：矩阵的特征多项式为特征值为，（二重），系数矩阵的秩为1。由可相似于一个对角矩阵知属于1的线性无关特征向量应有两个。于是，对应齐次线性方程组由应满足的条件。知必有，这是所给矩阵可相似于一个对角矩阵形如的矩阵都是可对角化矩阵。模仿本例，所满足的条件。可讨论其它矩阵在对角化矩阵假设下基础解系。并求。例5判断矩阵是否可相似于一个对角矩阵，（二重）。解：矩阵的特征多项式为特征值为，对于，解齐次线性方程组，得到对于，解齐次线性方程组，得到基础解系。于是得到三个线性无关的特征向量，因此它可以相似一个对角

6、矩阵。且有从而有这里不作详细介绍。并不是所有矩阵都可以对角化，但可以准对角化。这就是若当典范形问题其中是复数.定义形式为的矩阵称为若当矩阵块,其一般形状如由若干个若当块组成的准对角阵称为若当矩阵,四、矩阵的若当典范形简介*