线性代数-相似矩阵与矩阵对角化.ppt

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1、§4.2相似矩阵与矩阵对角化定义4.2设A、B都是n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得P-1AP=B则称A与B是相似的，记为A~B一、相似矩阵矩阵的相似关系是一种等价关系，即：①反身性：对任一n阶矩阵A，则②对称性：若，则③传递性：若且，则1相似矩阵的性质：3.相似矩阵或者都可逆或者都不可逆；当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。1.若，则。2.若，则。证：设，则，所以A与B同时可逆或不可逆。若A与B同时可逆，由于则即24.若，则对任意非负整数k，。证：设，则存在可逆矩阵P，使得当k=0时，，显然当k>0时，，即5.相似矩阵具有相同的特征值。证：

2、设，则存在可逆矩阵P，使得则6.相似矩阵具有相同的迹。3二、矩阵可对角化的条件定理4.5n阶矩阵A与n阶对角矩阵相似A有n个线性无关的特征向量相似矩阵具有许多共同性质，因此我们希望在众多相似矩阵中寻找一个最简单的矩阵作为相似类的代表。只要了解最简单矩阵的性质就可以了解A的一些性质。那么最简单的矩阵是什么形式？4证：必要性设，则存在可逆矩阵P，使得记P的列向量组为，则线性无关，并且可得故A有n个线性无关的特征向量。5充分性设A有n个线性无关的特征向量对应的特征值依次为，则令，则P可逆。由于即故，矩阵A与对角矩阵相似。6推论n阶矩阵A有n个互异的特征

3、值，则A必可与对角矩阵相似。例1把矩阵对角化。解：在§4.1例4中已经求出A的全部特征值为：7A对应于的特征向量为：A对应于的特征向量为：①令则8②令则③令则9例2设二阶矩阵，求解：易于求出A的全部特征值为：A对应于的特征向量为：A对应于的特征向量为：令，则从而10于是11定理4.6n阶矩阵A可与对角矩阵相似的对于每一个重特征值，则（证明略）练习判断矩阵是否可与对角矩阵相似？12作业（习题四A）12141314