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时间：2019-06-12
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1、§5.3相似矩阵与矩阵的对角化定理5由于对角句阵的特征值为对角线上的元素,所以由定理5得推论若n阶矩阵A与对角阵定理6推论1如果矩阵A的特征值都是单特征根，则A与对角矩阵相似.推论1推论2例3设矩阵解例4设A是3阶矩阵且I+A,3I－A,I－3A均不可逆.证明：证由前面的例题可知,并不是任何一个方阵都可对角化的,但是当方阵A为实对称矩阵时,A必可对角化,且实对称矩阵对于我们讨论下面的二次型非常重要.定理7实对称矩阵的特征值全为实数.定理8定理9由于相互正交的向量必线性无关，所以我们得到。推论对应实对称矩阵不同特征值的特征向量必定线性无关若λ是实对称矩
2、阵A的r重特征根，则对应特征值λ恰有r个线性无关的特征向量。证明（略）由定理6，定理7，定理8和定理9可以得到定理10实对称矩阵A一定可以对角化。即存在正交矩阵P,使P-1AP=Λ，其中Λ是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵。基本要求(1)理解特征值与特征向量的定义,了解其性质,会计算特征值与特征向量.(2)了解相似矩阵的概念及性质.(3)理解方阵可对角化的条件,掌握用相似变换化方阵为对角矩阵的方法.(4)了解实对称矩阵的性质,掌握实对称矩阵正交相似对角化的方法.
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