相似矩阵与方阵的对角化

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1、一、相似矩阵及其性质§4.3相似矩阵与方阵的对角化相似矩阵有相同的秩。相似矩阵的行列式相等。相似矩阵或都可逆或都不可逆。当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。相似矩阵的性质：矩阵的相似关系是一种等价关系！4.证明推论若阶方阵A与对角阵证明必要性：二、n阶矩阵与对角矩阵相似的条件矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．充分性：说明如果阶矩阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似．推论如果的特征方程有重根，此时不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化，但如果能找到个线性无关的特征向量，还

2、是能对角化．（充分而不必要）例1特征值-2，1（二重），相应特征向量：(-1,1,1)T,(-2,1,0)T,(0,0,1)T定理4.6实对称矩阵的特征值为实数.证明（一）、对称矩阵的性质说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵．三、实对称矩阵的对角化于是有两式相减，得定理4.6的意义证明于是定理4.7定理4.8如果n阶实对称矩阵A有m个不同的特征值其重数分别为则4.8根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：（二）、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法将特征

3、向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.1.5.将这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵P.矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．解例对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵.(1)第一步求的特征值解之得基础解系解之得基础解系解之得基础解系第三步将特征向量正交化第四步将特征向量单位化相似矩阵有相同的秩。相似矩阵的行列式相等。相似矩阵或都可逆或都不可逆。当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。1.相似矩阵三、小结d)性质：2.对称矩阵的性质：(1)特征值为实数；(2)属于不同特征值的

4、特征向量正交；(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值．3.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量正交化；(4)单位化．作业P138A10（几种方法）1314(1)