线性代数课件5-3相似矩阵与方阵对角化new

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1、只需寻找§3对称方阵对角化和二次型化标准形使二次型转换为标准形正交变换要判断曲线、曲面形状只需将曲线、曲面方程转化为标准方程只需寻找本章中心本章结构：二次型的定义及矩阵表示正交向量组特征值与特征向量方阵对角化的充要条件对称方阵对角化二次型化标准型本节重点：(1)求正交相似变换阵将实对称矩阵化为对角阵；(2)求正交变换将二次型化为标准形。复习n阶矩阵A可对角化A有n个线性无关的特征向量.求n阶特征值和特征向量的方法：1.求特征多项式就是n阶矩阵A的特征值；2.求特征方程的根的非零解，3.求解齐次线性方程组就是n阶矩阵A的特征向量.一、对称矩阵一定能对角化

2、引理1对称矩阵的特征值为实数.引理2对称矩阵的不同特征值的特征向量正交.推论:对称矩阵的特征向量都是实向量.r重根，则特征向量.r个线性无关的恰有引理3设A为n阶对称矩阵,的特征方程从而特征值分析：（1）设对称阵A有m个不同特征值它们的重数依次为（2）相应于恰有个线性无关的特征向量（3）为可逆阵，且有得知对称方阵A一定可以对角化其中定理1设A为n阶对称矩阵,则必有正交矩阵Q,使对称方阵A一定可以对角化，而且相似变换阵不唯一.二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化步骤：（1）设对称阵A有m个不同特征值它们的重数依次为（2）相应于恰有个线性无关的特征向量，把它们

3、正交单位化得，（3）为正交阵，且有例1求一正交相似变换阵将对称矩阵对角化。解：（1）A的特征多项式为故A的特征值为（2）相应于无关的特征向量只有一个，可取为的特征向量满足例1求一正交相似变换阵将对称矩阵对角化。相应于无关的特征向量只有一个，可取为的特征向量满足例1求一正交相似变换阵将对称矩阵对角化。相应于无关的特征向量只有一个，可取为的特征向量满足例1求一正交相似变换阵将对称矩阵对角化。（3）正交相似变换矩阵取为例2求一正交相似变换阵将对称矩阵对角化。解：（1）A的特征多项式为故A的特征值为（2）相应于无关的特征向量只有一个，可取为的特征向量满足将对称

4、矩阵对角化。例2求一正交相似变换阵相应于无关的特征向量有两个，满足的特征向量满足将对称矩阵对角化。例2求一正交相似变换阵满足且正交的特征向量可取为单位化得将对称矩阵对角化。例2求一正交相似变换阵（3）正交矩阵为三、正交变换化二次型为标准形总有正交变换x=Py，使f化为标准形定理2例3求一个正交变换x=Py，把二次型化为标准形.解二次型的矩阵为正交相似变换矩阵取为所做正交变换为x=Qy，即标准形为：（1）判断二次曲线的形状；（2）判断二次曲面的形状。下面解决本章第一次课所提的问题：（1）判断二次曲线的形状.解：令其矩阵为A的特征多项式为故A的特征值为相应

5、于无关的特征向量只有一个，可取为的特征向量满足相应于无关的特征向量只有一个，可取为的特征向量满足正交矩阵为所做正交变换为二次型的标准形为：二次曲线的标准方程为：该曲线为双曲线.（2）判断二次曲面的形状.解：其矩阵为A的特征多项式为故A的特征值为相应于无关的特征向量只有一个，可取为的特征向量满足相应于无关的特征向量有两个，满足的特征向量满足满足且正交的特征向量可取为单位化得正交矩阵为所做正交变换为二次型的标准形为二次曲面的标准方程为二次曲面的形状为旋转双曲面三、Lgrange配方法化二次型为标准形下面介绍一种行之有效的方法——拉格朗日配方法．用正交变换化

6、二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变．问题：有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？（不要求形状不变）拉格朗日配方法的步骤：1.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，进行，直到都配成平方项为止，再对其余的变量同样就得到标准形;经过可逆性变换，2.若二次型中不含有平方项，但是含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.化二次型为则先作可逆线性变换例4所做可逆变换为含有平方项含有的项配方而我们曾用正交变换化标准形为：比较例5做可逆变换不含平方项含有的项配方再做可逆变换，得标准型为我们曾在正交变换之下化标准型为.比较注：二次型的标准形不

7、唯一，但它们具有共性：(1)所含平方项个数相同，都等于矩阵A的秩；(2)平方项的系数正负项数相同。定义：称标准形中正系数个数为正惯性指数；负系数个数为负惯性指数；正惯性指数减去负惯性指数为符号差.例的正惯性指数为2，负惯性指数为1，符号差为1.惯性定理