相似矩阵与矩阵可对角化的条

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1、§3.2相似矩阵与矩阵可对角化的条件相似矩阵及其性质矩阵可对角化的条件1一、相似矩阵及其性质1.Def.:设A,B为n阶矩阵,若存在n阶可逆矩阵P,使得P-1AP=B,则称矩阵A与矩阵B相似,记作A~B.如设易验证注2一、相似矩阵及其性质1.Def.:设A,B为n阶矩阵,若存在n阶可逆矩阵P,使得P-1AP=B,则称矩阵A与矩阵B相似,记作A~B.(1)自反性:A~A(2)对称性:若A~B,则B~A2.相似的性质1)设A，B，C为n阶矩阵，则(3)传递性:若A~B,B~C,则A~C2)设矩阵A~B，则A,B

2、具有相同的特征值.3)设矩阵A~B，则Am~Bm,其中m为正整数.3一、相似矩阵及其性质1.Def.:设A,B为n阶矩阵,若存在n阶可逆矩阵P,使得P-1AP=B,则称矩阵A与矩阵B相似,记作A~B.2.相似的性质2)设矩阵A~B，则A,B具有相同的特征值.3)设矩阵A~B，则Am~Bm,其中m为正整数.4)相似矩阵的行列式相等.5)相似矩阵的秩相等.6)相似矩阵或都可逆或都不可逆.当它们都可逆时，它们的逆矩阵也相似.4二、矩阵可对角化的条件1.Def.:若n阶矩阵A可以与一个n阶对角矩阵相似，则称A可对角化

3、，称为A的相似标准形.2.Th.:n阶矩阵A可对角化A有n个线性无关的特征向量.推论:若n阶矩阵A有n个互异的特征值,则A可对角化.3.Th.:n阶矩阵A可对角化对于A的每一个ni重特征值i,特征矩阵(iE–A)的秩等于n–ni;对于A的每一个ni重特征值i,齐次线性方程组(iE–A)X=0的基础解系中恰有ni个向量.4.判断矩阵A是否可对角化,若能,试求可逆矩阵P,使P-1AP=的方法.5例1设有矩阵(1)问矩阵A是否可对角化,若能,试求可逆矩阵P,使P-1AP=;(2)使P-1AP=成

4、立的P、是否唯一,举例说明.6例2判定下列矩阵是否相似于对角矩阵,若相似,则求出可逆矩阵P,使P-1AP是对角矩阵,并求A5.例3设相似于对角矩阵,求x与y应满足的条件.7例4设3阶矩阵A的特征值为对应的特征向量依次为求A和A100.8相似与等价的关系若两个矩阵相似，则它们一定等价;反之，两个等价的矩阵不一定相似.作业:第143页第4题之(3);第7题;第8题92.若3×4矩阵A的秩为2,则()A中必有一个零行;A中必有两行元素成比例;A中任一行向量都能由其余两个行向量线性表示;通过初等行变换,可将A的第三行

5、化为零向量.3.设A是n阶方阵,AX=0有非零解,证明AATX=0也有非零解.101112