相似矩阵及对角化ppt课件.ppt

《相似矩阵及对角化ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三节相似矩阵及实对称阵的对角化一、相似矩阵与相似变换的概念二、方阵相似于对角矩阵的条件三、实对称矩阵的对角化四、小结一、相似矩阵与相似变换的概念定义5.6设都是阶矩阵，若有可逆矩阵则称是的相似矩阵，或说矩阵与相似.对进行运算称为对进行相似变换，使得可逆矩阵称为把变成的相似变换矩阵.回顾设为同型的矩阵，如果存在阶及则称与等价，记为阶可逆矩阵，使得下面给出比等价关系更为“密切”的一种关系：(1)矩阵间的相似关系比等价要求更高.(2)等价具有的性质，相似之间的矩阵也具有.(3)相似一定等价，但等价不一定相似.(因为在“等价关系:存在可逆矩阵P,Q使得矩阵A与B之间满足:B=

2、PAQ”中，P与Q之间不一定是互为可逆的关系.)说明：定理5.2设与相似，则(1)与有相同的特征多项式，因而有相同的特征值.例1设，且与相似，求(1)(2)的特征值.解(1)因为由定理5.2可知，,所以(2)易得的特征值为,由定理5.2可知，的特征值也为，由性质4可知，的特征值为二、方阵相似于对角矩阵的条件定义：如果矩阵与对角矩阵相似，则称可相似对角化.下面给出矩阵可对角化的定理.定理5.3与对角矩阵相似存在个线性无关的特征向量，且的对角元素即为的特征值，而相似变换矩阵为,其中是特征值对应的特征向量，即其中为方阵的所有特征值，重根按重数计算.下面给出判断一个方阵能否对角

3、化及对角化的过程(1)如果有个互不相同的特征值，则存在个线性无关的特征向量，这时一定可相似对角化.(2)如果有特征重根，则可能存在个线性无关的特征向量，也可能不存在个线性无关的特征向量，此时方阵不一定能相似对角化.(但是有下面的结论)定理5.4设的特征值的重数为.则与对角矩阵相似的充要条件是对于特征值存在(重数)个线性无关的特征向量(或齐次线性方程组的解空间为维或基础解系含有个解向量)例2设，问可否对角化？如果能,求出相似变换矩阵，使得解则特征值为故一定可对角化.(1)对于特征值,解得基础解系(2)对于特征值,解得基础解系(3)对于特征值解得基础解系令则例3已知,求：能

4、否与对角矩阵相似，如能，求出相似变换矩阵使得(3)求例3已知,求：解的特征值为-1,2,2,则(2)的二重特征值为2，其对应的齐次线性方程组的系数矩阵的秩为1，因此其解空间的秩为3-1=2，故可对角化.分别与特征值-1,2,2对应的其次方程组的基础解系为：令则有即(3)下面利用求因为所以又因为故例4判断下列实矩阵能否化为对角阵？解解之得基础解系求得基础解系得基础解系为故不能化为对角矩阵.A能否对角化？若能对角例5设解解之得基础解系所以可对角化.注意即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．定理5.5实对称矩阵的特征值为实数.三、实对称矩阵的对角化说明：本节所提到

5、的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵．定理5.6设是对称矩阵的两个特征值，是对应的特征向量,若则与正交.定理5.7设为阶对称矩阵，是的特征方程的重根,则矩阵的秩从而对应特征值恰有个线性无关的特征向量.(即对称阵必定能相似对角化)根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.1.解例6对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵并求出该对角阵.(1)第一步:求的特征值解之得基础解系解之得基础解系解之得基础解系第三步将特征向量正交化第四步将特征向量单位化于是得正交矩阵注：相似对角化中的正交矩阵的特征向

6、量就对应后面对角阵中的特征值（位置对应）