线性代数课件4-1矩阵的对角化

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1、一.矩阵的特征值和特征向量二.相似矩阵和矩阵对角化三.向量的内积和施密特正交化四.实对称矩阵的对角化第四章矩阵的对角化本章安排1第一节矩阵的特征值和特征向量一.特征值与特征向量的概念二.特征值与特征向量的性质三.特征值与特征向量的求法四.小结思考题2一.特征值与特征向量的概念定义1设是阶方阵，若数和维非零列向量使得成立，则称是方阵的一个特征值.为方阵的对应于特征值的一个特征向量。注：是方阵。（2）特征向量是非零列向量。3由于则与定义矛盾.（3）方阵的与特征值对应的特征向量不唯一。（4）一个特征向量只能属于一

2、个特征值。如果设同时是的属于特征值的特征向量，即有4或已知所以齐次线性方程组(2)有非零解或定义2数是关于的一个多项式，称为矩阵的特征多项式。二.特征值与特征向量的求法5称为矩阵的特征方程。求特征值、特征向量的步骤：即为特征值;求出代入上式，把得到的特征值求齐次线性方程组的非零解即为所求特征向向量。6例1求矩阵的特征值和全部特征向量.解第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.特征值为第二步：对每个特征值代入齐次线性方程组求非零解。7齐次线性方程组为当时，系数矩阵自由未知量:得基础解系:令常数)是对应于的全

3、部特征向量。8当时，齐次线性方程组为常数)是对应于的全部特征向量。得基础解系9三.特征值和特征向量的性质性质1若的特征值是，是的对应于的特征向量，则的特征值是是任意常数)的特征值是是正整数)若可逆，则的特征值是的特征值是且仍然是矩阵分别对应于的特征向量。为A的多项式，则的特征值为10再继续施行上述步骤次，就得（3）当可逆时，必有否则与题设矛盾。由证明11回顾的特征值为当的特征值为时，的特征值为的特征值为(4)设则12设为矩阵的特征值，求的特征值；若可逆，求的特征值。例2解在题设条件下，由性质1中的(4)知，

4、的特征值为为A的多项式，则的特征值为由性质1中的（3）知，的特征值为的特征值为进而的特征值为13矩阵和的特征值相同。证明和具有相同的特征多项式，因而具有相同的特征值。性质214设阶方阵的个特征值为则称为矩阵A的迹.（主对角元素之和）定理215解（1）求：（1）A的特征值和特征向量。（2）求可逆矩阵，使得为对角阵。例3设得16自由未知量:得基础解系17自由未知量:得基础解系18取19存在本题启示:问题：矩阵是否唯一？矩阵是否唯一？2.提供了一种求的方法.其中为对角阵。1.通过求A的特征值,特征向量,有可能把A

5、写成20则是方阵的个特征值，依次是与之对应的特征向量。如果各不相等，则线性无关。即，方阵的属于不同特征值的特征向量线性无关。证明：设常数使得定理3设21把上列各式合写成矩阵形式，得等号左边第二个矩阵的行列式为Vandermonde行列式，当各不相同时，该行列式的值不等于零，所以存在逆矩阵。类推之，有22等号两边同时右乘它的逆矩阵，有即又因为为特征向量，所以线性无关。231.属于不同特征值的特征向量是线性无关的．2.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．3.矩阵的特征向量总是相对

6、于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值。注意因为，如果设同时是的属于特征值的特征向量，即有与定义矛盾.24内容小结求矩阵特征值与特征向量的步骤：1.计算的特征多项式2.求特征方程的全部根就是的全部特征值；3.对于特征值求齐次方程组的非零解，就是对应于的特征向量.25思考与练习例1（1994年（II)6分）设是n阶方阵，矩阵，计算行列式知识点链接是的n个特征值，是n阶单位解26例2向量是矩阵的属于特征值的特征向量。知识点链接27例3设是的特征向量，则的值为[].

7、（A）5，2（B）1，-3（C）-3，1（D）2，528例4设矩阵的属于特征值的特征向量是则[]是矩阵的特征值.29例5设矩阵可逆，向量是矩阵的一个特征向量，是对应的特征值，其中是矩阵的伴随矩阵.试求和的值.2003年考研题30作业P1841.(3)(5)5.(1)8.10.11.31