线性代数矩阵相似对角化

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1、第二节矩阵相似对角化一定义三相似对角化二性质四应用举例特征值与特征向量的求法（复习）(1)由求出A的所有特征值n阶方阵Ａ的特征值，就是使齐次线性方程组有非零解的λ值，即满足的λ都是方阵Ａ的特征值．t重根对应t个相同的特征值(2)将求得的代入方程的非零解，即为对应的特征向量注：叙述特征向量时，必须指明其对应的特征值一、定义定义设A、B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使得则称B是A的相似矩阵，或者说矩阵A与B相似．称为对A进行相似变换，对A进行运算可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵．记作：A~B二、性质（1

2、）自反性：（2）对称性：（3）传递性：Ａ~Ａ；Ａ~Ｂ，则Ｂ~Ａ；Ａ~Ｂ，Ｂ~Ｃ，则Ａ~Ｃ；（4）Ａ~Ｂ，则（5）Ａ~Ｂ，则（6）Ａ~Ｂ，且Ａ可逆，则定理若n阶矩阵A与B相似，则A与B有相同的特征多项式，从而A与B有相同的特征值．推论若n阶矩阵A与对角矩阵相似，就是A的n个特征值．则而对对角阵有则若有可逆矩阵P使（8）Ａ~Ｂ，则Ａ的多项式特别这样可以方便地计算Ａ的多项式（7）Ａ~Ｂ，则若能寻得相似变换矩阵P使对n阶方阵A，称之为把方阵A对角化．三、相似对角化定理的推论说明，如果n阶矩阵A与对角矩阵Λ相似，那

3、么，使得的矩阵P又是怎样构成的呢？则Λ的主对角线上的元素就是Ａ的全部特征值．设存在Ｐ可逆，使得有于是有因为Ｐ可逆，故于是是Ａ的n个线性无关的特征向量。反之，即设可逆，且则Ｐ若Ａ有n个线性无关的特征向量所以即Ａ与对角矩阵Λ相似．定理n阶矩阵Ａ能与对角矩阵Λ相似Ａ有n阶线性无关的特征向量．推论如果n阶矩阵Ａ有n个不同的特征值，则矩阵Ａ注意P中的列向量的排列顺序要与的顺序一致．（1）可相似对角化．（2）是的基础解系中的解向量，因的取法不是唯一的，故因此P也是不唯一的．（3）所以如果不计的排列顺序，的根只有n个

4、（重根按重数计算）又是唯一的．则推论若n阶矩阵Ａ可相似对角化Ａ的任　重特征值对应　个线性无关的特征向量．四、应用举例例1、判断矩阵A是否可对角化，若可以，求出相似变换矩阵P.分析：要判断矩阵A是否可对角化，须知道A是否有三个线性无关的特征向量（或三个不同的特征值）解：A的特征值不能断定A能否对角化！须进一步判断所对应的线性无关的特征向量个数由于系数矩阵的秩为1，所以方程组有2个线性无关的故矩阵A可对角化。当时，解向量，即对应有两个线性无关的特征向量当时，线性无关的特征向量：当时，线性无关的特征向量：(1

5、)当k为何值时，A相似于对角阵例2、设(2)求可逆矩阵P，使P-1AP为对角阵分析：要使矩阵A相似于对角阵，就是适当的选取k值使A具有三个线性无关的特征向量（或三个不同的特征值）上述必须有两个线性无关的解向量，r(-I-A)=1解：A的特征值要保证A能对角化，必须选取适当的k，使有两个线性无关的特征向量当时，(2)代入k=0,时，线性无关的特征向量：当时，线性无关的特征向量：例3、设矩阵,求An（简化计算）分析：直接求An比较困难，分块矩阵也很难应用。故利用相似矩阵，若解：A的特征值故A相似于对角阵，例4

6、、求常系数线性常微分方程组（利用相似矩阵求解微分方程组）解：上述微分方程组可化为上述微分方程组很难直接求解，若改成如下方程则易求解原始方程能否该能这种易求解形式？原方程组的系数矩阵A的特征值、故有特征向量为：故有