矩阵的相似对角化

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1、§5.2矩阵的相似对角化一、相似矩阵的基本概念与性质二、矩阵相似对角化的概念与问题分析三、矩阵相似对角化的方法步骤四、矩阵相似对角化的应用一、相似矩阵的基本概念与性质1.相似矩阵的概念定义对于n阶矩阵A和B，则称A与B相似，称对A所进行的运算为对A进行相似变换。称可逆矩阵P为把A变成B的相似变换矩阵。记为若存在可逆的n阶方阵P使得或者称A相似于B，注矩阵相似是矩阵等价的一种特殊情况。一、相似矩阵的基本概念与性质1.相似矩阵的概念2.相似矩阵的性质(1)反身性性质(2)对称性若则(3)传递性若则(4)若则(5)若则定理若

2、n阶矩阵A与B相似，则A与B有相同的特征多项式,证明因A与B相似，即存在可逆的矩阵P使得即A与B有相同的特征多项式。从而A与B有相同的特征值。故一、相似矩阵的基本概念与性质1.相似矩阵的概念2.相似矩阵的性质二、矩阵相似对角化的概念与问题分析定义对于n阶矩阵A，则称A可相似对角化；若存在可逆的n阶方阵P，使得记为若存在可逆矩阵P使则则特别地，若二、矩阵相似对角化的概念与问题分析好处(之一)例证明矩阵不能相似对角化。证(反证法)假设存在可逆矩阵P，使得即得故它们有相同的特征值，由矩阵A与L相似，矛盾！故矩阵A不能相似对角

3、化。1.问题分析(1)L如何构成？L的主对角线上的元素由A的全部特征值构成。由于是L的n个特征值，而A与L相似，因此就是A的n个特征值.记为所考虑的问题是寻找可逆的n阶方阵P，使得即二、矩阵相似对角化的概念与问题分析1.问题分析(2)P如何构成？P的列向量由A的线性无关的特征向量构成。设即则由有于是有又因为P可逆，且线性无关，故因此是A的n个线性无关的特征向量.即二、矩阵相似对角化的概念与问题分析A有n个线性无关的特征向量，推论如果n阶矩阵A有n个不同的特征值，则矩阵A可以相似对角化。定理n阶矩阵A能够相似于对角矩阵的

4、充分必要条件是1.问题分析2.矩阵可相似对角化的条件即A每个特征值所对应的线性无关的特征向量的个数必须恰好等于该特征值的重数。二、矩阵相似对角化的概念与问题分析三、矩阵相似对角化的方法步骤步骤(1)求n阶方阵A的特征值其重数分别为(2)对每一个特征值求矩阵A特征向量，并找出其中线性无关的特征向量，其最大个数为(3)若则A不能相似对角化；(4)若从而有则以这些特征向量作为列向量构成矩阵P，其中个个个三、矩阵相似对角化的方法步骤步骤(4)若从而有则以这些特征向量作为列向量构成矩阵P，三、矩阵相似对角化的方法步骤(2)因是的

5、基础解系中的解向量，故的因此P也不是唯一的。(3)由于的根只有n个(重根按重数计算)，所以则是唯一的。如果不计特征值的排列顺序，几点说明(1)P中的列向量(即特征向量)的排列顺序要与特征值的顺序一致。取法不是唯一的。例试将矩阵相似对角化。解令(三重根)得A的特征值为由得A的特征向量为显然，最多能找到两个线性无关的特征向量，因此矩阵A不能相似对角化。例将矩阵相似对角化，并求解(1)由得A的特征值为对对取特征向量令则(重根)(单根)取特征向量解有(2)由例将矩阵相似对角化，并求则P可逆，解(1)令且例设三阶方阵A的三个特征

6、值为且对应的特征向量分别是求矩阵A和(2)因此有证(1)由题意可知：n维基本向量是A的特征向量，例设任意非零n维向量都是n阶方阵A的特征向量，证明A为数量阵。令即则存在使得例设任意非零n维向量都是n阶方阵A的特征向量，证(2)又n维向量也是A的特征向量，证明A为数量阵。故存在使得即因此即A为数量阵。例四、矩阵相似对角化的应用1.人口流动问题第一年末城乡人口为解(1)设最初城市和农村人口分别为即第k年末城乡人口为即记则有(2)由求得A的特征值为它们对应的特征向量分别为令则且因而有(3)第k年末城乡人口为故当时，即当时，城

7、与农村的人口之比为2:1.由A的特征值为对应的特征向量分别为故第k年末城乡人口为注本题还可以直接利用特征值与特征向量的性质来求解(线性无关)有例求解常系数线性常微分方程组四、矩阵相似对角化的应用1.人口流动问题2.微分方程组求解问题其中，设想:假如微分方程组为则它们是三个独立其解非常容易得到.的齐次型微分方程,解(1)将微分方程组改写为矩阵形式令简记为则微分方程组可改写为简写为简记为解(2)将矩阵A相似对角化由得A的特征值为对对特征向量为特征向量为令则(重根)(单根)解(3)将微分方程组“化简”有由则微分方程组变为令则

8、相应地，微分方程组“化简”为即解(4)求解微分方程组对微分方程组求解可得：故原方程组的解为即其中为任意常数。